Blog

Chiến lược giải bài toán tiệm cận ngang của hàm phân thức lớp 12 chi tiết và hiệu quả

T
Tác giả
6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán tiệm cận ngang của hàm phân thức

Bài toán về tiệm cận ngang của hàm phân thức là một trong những kiến thức quan trọng thuộc chương trình Giải tích lớp 12. Đây là kiến thức nền tảng cho các bài tập khảo sát, vẽ đồ thị và phân tích tính chất của hàm số - thường gặp trong đề thi THPT Quốc gia cũng như các bài kiểm tra định kỳ. Hiểu rõ và thành thạo phương pháp giải bài toán này giúp học sinh xác định chính xác giới hạn của hàm số khixxtiến ra vô cực, từ đó nhận biết xu hướng của đồ thị hàm số, phục vụ tốt cho việc phân tích và vẽ đồ thị.

2. Đặc điểm của bài toán tiệm cận ngang

Một bài toán tiệm cận ngang của hàm phân thức thường có dạng tổng quát:y=P(x)Q(x)y = \frac{P(x)}{Q(x)}, vớiP(x)P(x)Q(x)Q(x)là các đa thức. Tiệm cận ngang của đồ thị được xác định bằng việc tính giới hạnlimx±y\lim_{x \to \pm \infty} y. Đường thẳngy=by = b được gọi là tiệm cận ngang nếulimx±y=b\lim_{x \to \pm \infty} y = b(ở ++\inftyhoặc-\inftyhoặc cả hai). Những trường hợp chủ yếu khi xét tiệm cận ngang là:

  • Bậc của tử nhỏ hơn bậc mẫu.
  • Bậc của tử bằng bậc mẫu.
  • Bậc của tử lớn hơn bậc mẫu.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán tiệm cận ngang

  1. Xác định hàm số có dạng phân thức hữu tỉ.
  2. So sánh bậc của tử số mmvà bậc của mẫu số nn.
  3. Lựa chọn công thức tính giới hạn phù hợp từng trường hợp.
  4. Tính giới hạnlimx+y\lim_{x\to +\infty}ylimxy\lim_{x\to -\infty}y.
  5. Kết luận phương trình tiệm cận ngang và xác định ý nghĩa.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh hoạ

Giả sử xét hàm số:y=2x23x+1x2+x2y = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 + x - 2}

  1. So sánh bậc tử và bậc mẫu: \quad Bậc tử = 2; Bậc mẫu = 2.
  2. Vì bậc tử = bậc mẫu, tiệm cận ngang xác định bởi tỉ số hệ số củax2x^2.
  3. Tính giới hạn:

<br/>limx2x23x+1x2+x2=limx23x+1x21+1x2x2=21=2<br/><br />\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2-3x+1}{x^2+x-2} = \lim_{x\to\infty}\frac{2-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}} = \frac{2}{1} = 2<br />

Vậy, phương trình tiệm cận ngang là y=2y = 2. Đồ thị hàm số sẽ tiến gần đường thẳng này khix±x \to \pm \infty.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • Trường hợp 1: Bậc tử <<bậc mẫu:limx±y=0\lim_{x\to \pm \infty}y = 0 \rightarrow tiệm cận ngang:y=0y=0.
  • Trường hợp 2: Bậc tử = bậc mẫu:limx±y=ambn\lim_{x\to \pm \infty}y = \frac{a_m}{b_n}, vớiam,bna_m, b_nlần lượt là hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu.
  • Trường hợp 3: Bậc tử >>bậc mẫu:limx±y=\lim_{x\to \pm \infty}y = \inftyhoặc-\infty(không có tiệm cận ngang, trường hợp này có thể xuất hiện tiệm cận xiên).

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Một số biến thể thường gặp:

  • Hàm phân thức chỉ xác định trên khoảng dương hoặc âm.
  • Hàm phân thức có chứa căn thức hoặc hệ số tham số.
  • Yêu cầu xác định cả tiệm cận ngang và tiệm cận xiên.

Với mỗi biến thể, học sinh cần cân nhắc điều kiện xác định, dấu của biểu thức và kiểm tra giới hạn một cách cẩn thận, có thể chia tử và mẫu choxxvới số mũ bậc cao nhất để đơn giản hóa giới hạn.

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Cho hàm số y=3x3x2x2+5y = \frac{3x^3 - x}{2x^2 + 5}. Xác định tiệm cận ngang của đồ thị.

  1. Bậc tử (m=3m = 3), bậc mẫu (n=2n = 2). Vì m>nm > n, hàm không có tiệm cận ngang.

Tuy nhiên, nếu yêu cầu, ta kiểm tra tiệm cận xiên:

Chia tử cho mẫu:


Vậy hàm có tiệm cận xiên: y = \frac{3}{2}x .

Bài tập mẫu 2:y=2x215x3+2y = \frac{2x^2 - 1}{5x^3 + 2}

- Bậc tử = 2, bậc mẫu = 3 (m<nm < n)
-\RightarrowTiệm cận ngang:y=0y = 0

8. Bài tập thực hành tự luyện

  • 1. Xét tiệm cận ngang củay=4x2+x+12x23y = \frac{4x^2 + x + 1}{2x^2 - 3}
  • 2. Xét tiệm cận ngang củay=5x3+2xx21y = \frac{5x^3 + 2x}{x^2 - 1}
  • 3. Xét tiệm cận ngang củay=7x+33x+1y = \frac{-7x + 3}{3x + 1}
  • 4. Xét tiệm cận ngang củay=2x45x2+7y = \frac{2x - 4}{5x^2 + 7}

Học sinh tự giải và đối chiếu kết quả với đáp án:

  • Bài 1:y=2y = 2
  • Bài 2: Không có tiệm cận ngang (có tiệm cận xiên)
  • Bài 3:y=7/3y = -7/3
  • Bài 4:y=0y = 0

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

  • Luôn xác định đúng bậc tử và bậc mẫu, tránh nhầm lẫn số hạng bậc cao nhất.
  • Nếu hàm có chứa tham số, cần xét kỹ trường hợp tham số làm thay đổi bậc tử hoặc mẫu.
  • Luôn đưa tử và mẫu về dạng đã rút gọn trước khi tính giới hạn.
  • Nhớ rằng tiệm cận ngang chỉ xét khix+x\to +\inftyxx\to -\infty.
  • Nếu xuất hiện căn, chú ý dấu của căn bậc chẵn khixx\to -\infty.
T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".