Blog

Lớp 12

Chiến lược giải bài toán tiệm cận xiên của hàm phân thức lớp 12

T
Tác giả
•
•6 phút đọc
Chia sẻ:
7 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán tiệm cận xiên của hàm phân thức

Tiệm cận xiên là một trong những khái niệm quan trọng khi xét đến đồ thị hàm số, đặc biệt đối với hàm phân thức hữu tỉ. Việc xác định tiệm cận xiên giúp hiểu rõ hơn về xu hướng của đồ thị khixxtiến ra vô cùng. Đây là kiến thức cơ bản nhưng lại rất quan trọng trong chương trình Toán 12, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia và kiểm tra học kỳ. Do đó, "cách giải bài toán tiệm cận xiên của hàm phân thức" là kỹ năng không thể thiếu với mỗi học sinh lớp 12.

2. Phân tích đặc điểm bài toán tiệm cận xiên của hàm phân thức

Hàm phân thức hữu tỉ là hàm dạngy=P(x)Q(x)y = \frac{P(x)}{Q(x)}vớiP(x),Q(x)P(x), Q(x)là các đa thức và Q(x)≠0Q(x) \neq 0. Đường thẳngy=ax+by = ax + bgọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số nếu:

  • lim⁡x→±∞[f(x)−(ax+b)]=0\lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - (ax + b)] = 0

Tiệm cận xiên chỉ xuất hiện khi bậc tử lớn hơn bậc mẫu đúng 1 đơn vị (deg⁡(P)=deg⁡(Q)+1)(\deg(P) = \deg(Q) + 1). Nếu bậc tử nhỏ hơn hoặc bằng bậc mẫu, tiệm cận xiên không tồn tại (Có thể có tiệm cận ngang).

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

  • Kiểm tra bậc của tử và mẫu số.
  • Nếu bậc tử lớn hơn bậc mẫu 1 đơn vị: Chia đa thức (chia tử cho mẫu)
  • Lấyy=ax+by = ax + b(là phần nguyên của phép chia) chính là phương trình tiệm cận xiên.
  • Kiểm tra giới hạn phần dư khix→±∞x\to \pm \infty để xác nhận.

    • 4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

    Giả sử cho hàmy=x2+1x+2y = \frac{x^2 + 1}{x + 2}.

  • Bước 1: Xác định bậc tử = 2, bậc mẫu = 1. (Bậc tử lớn hơn mẫu 1 đơn vị, có tiệm cận xiên)
  • Bước 2: Chia đa thức:x2+1x^2 + 1chia chox+2x + 2:

    • x2+1=(x+2)⋅x−2x+1x^2 + 1 = (x + 2) \cdot x - 2x + 1

  • Bước 3: Viết lại:y=x−2+5x+2y = x - 2 + \frac{5}{x+2}
  • Bước 4: Khix→±∞x \to \pm \infty,5x+2→0\frac{5}{x+2} \to 0.

    • →\rightarrowĐường tiệm cận xiên:y=x−2y = x - 2

    5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • Hàmf(x)=P(x)Q(x)f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}có tiệm cận xiên nếudeg⁡(P)=deg⁡(Q)+1\deg(P) = \deg(Q) + 1.
  • Chia đa thứcP(x)P(x)choQ(x)Q(x):P(x)=Q(x)⋅(ax+b)+R(x)P(x) = Q(x) \cdot (ax + b) + R(x). Tiệm cận xiên là y=ax+by = ax + b.
  • Công thức xác định hệ số a,ba, bkhi chia:a=lim⁡x→∞f(x)x;\b=lim⁡x→∞[f(x)−ax].a = \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x};\b = \lim_{x\to\infty}[f(x) - ax].

    • 6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

  • Nếu bậc tử lớn hơn bậc mẫu từ 2 đơn vị trở lên: Không có tiệm cận xiên, đồ thị có nhân tiệm cận "bậc cao" hơn (không đề cập lớp 12).
  • Nếu bậc tử bằng bậc mẫu: Sẽ có tiệm cận ngang, không phải tiệm cận xiên.
  • Nếu bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu: Tiệm cận ngang là trục hoành.

    • 7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

    Bài 1: Xác định tiệm cận xiên của hàmy=2x2−3x+1x+5y = \frac{2x^2-3x+1}{x+5}.
    Hình minh họa: Đồ thị hàm số y = x² + 1 (đường liền màu xanh) và y = (x + 2)·x - 2x + 1 (đường đứt màu cam) trên miền x∈[-5, 5], minh họa hai biểu thức bằng nhau
    Đồ thị hàm số y = x² + 1 (đường liền màu xanh) và y = (x + 2)·x - 2x + 1 (đường đứt màu cam) trên miền x∈[-5, 5], minh họa hai biểu thức bằng nhau
  • Bậc tử = 2, bậc mẫu = 1 → Có tiệm cận xiên.
  • Chia2x2−3x+12x^2-3x+1chox+5x+5:

    • 2x2−3x+1=(x+5)⋅2x−13x+1−65x+12x^2-3x+1 = (x+5) \cdot 2x -13x + 1 - 65x + 1

    Tóm lại:2x2−3x+1=(x+5)⋅2x−13x+12x^2-3x+1 = (x+5) \cdot 2x -13x + 1(rút gọn tiếp)

    Ta thực hiện phép chia đầy đủ:

    <br/>2x2−3x+1=(x+5)⋅2x−13x+1<br/>=(2x)(x+5)=2x2+10x<br/>⇒2x2−3x+1−[2x2+10x]=−13x+1<br/>⇒−13x+1=(x+5)⋅(−13)+66<br/>(−13)(x+5)=−13x−65<br/>⇒−13x+1−[−13x−65]=66<br/>\begin{align*}<br />2x^2 - 3x + 1 & = (x + 5) \cdot 2x - 13x + 1 \\<br /> & = (2x)(x+5) = 2x^2 + 10x \\<br /> & \Rightarrow 2x^2 - 3x + 1 - [2x^2 + 10x] = -13x + 1 \\<br /> & \Rightarrow -13x + 1 = (x+5) \cdot (-13) + 66 \\<br /> & (-13)(x+5) = -13x -65 \\<br /> & \Rightarrow -13x + 1 - [-13x -65] = 66 <br />\\\end{align*}

    Vậy2x2−3x+1=(x+5)⋅2x−13(x+5)+662x^2 - 3x + 1 = (x+5) \cdot 2x - 13(x+5) + 66.

    →y=2x−13+66x+5y = 2x - 13 + \frac{66}{x+5}.

    Khix→±∞x \to \pm \infty,66x+5→0\frac{66}{x+5} \to 0. Vậy tiệm cận xiên:y=2x−13y = 2x - 13.

    8. Bài tập thực hành

  • Bài 1: Tìm phương trình tiệm cận xiên của hàm số y=3x2+5x−1y = \frac{3x^2 + 5}{x - 1}.
  • Bài 2: Tìm tiệm cận xiên của hàmy=4x2+2x+32x+1y = \frac{4x^2 + 2x + 3}{2x + 1}.
  • Bài 3: Xác định tiệm cận xiên, nếu có, cho hàmy=5x2−x+2x+4y = \frac{5x^2 - x + 2}{x + 4}.
  • Bài 4: Kiểm tra hàm số y=x2+x+1x2−1y = \frac{x^2 + x + 1}{x^2 - 1}có tiệm cận xiên không?

    • 9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

  • Luôn kiểm tra bậc tử và mẫu trước khi xác định tiệm cận xiên.
  • Chỉ chia đa thức khi bậc tử > bậc mẫu.
  • Nếu bậc tử = bậc mẫu: Có tiệm cận ngang, không phải xiên.
  • Làm rõ phép chia và rút gọn kỹ càng. Cẩn thận các phép toán với số âm.
  • Luôn kết luận bằng phương trình tiệm cận xiên.

    • Hy vọng với chiến lược này, các em đã nắm chắc "cách giải bài toán tiệm cận xiên của hàm phân thức", đồng thời tăng cường kỹ năng làm bài và tự tin khi gặp dạng toán này trong các kỳ thi quan trọng.

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".