Chiến lược giải bài toán tìm cực trị bằng đạo hàm cấp hai (Lớp 12)

1. Giới thiệu về bài toán tìm cực trị bằng đạo hàm cấp hai

Cực trị của hàm số là khái niệm trọng tâm trong giải tích lớp 12 và các kỳ thi lớn như THPT Quốc gia. Bài toán tìm cực trị giúp học sinh hiểu rõ hơn về biến thiên của hàm số, xây dựng nền tảng vững chắc để giải quyết các bài toán ứng dụng trong thực tiễn: tối ưu hóa, xác định giá trị lớn nhất/nhỏ nhất, khảo sát đồ thị,... Đặc biệt, phương pháp sử dụng đạo hàm cấp hai là kỹ thuật quan trọng, nhanh, hiệu quả và rất thường xuất hiện trong đề thi chuẩn hóa.

2. Đặc điểm của bài toán tìm cực trị bằng đạo hàm cấp hai

Một số điểm cần lưu ý:

• Chỉ ứng dụng cho hàm số khả vi trên miền đang xét.
• Đạo hàm bậc nhất dùng để tìm nghiệm, xác định điểm nghi ngờ cực trị.
• Sử dụng đạo hàm cấp hai để phân biệt cực đại và cực tiểu.
• Phù hợp nhất với các hàm đa thức, hữu tỉ, lượng giác, hàm mũ – logarit.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán

Để giải bài toán tìm cực trị với đạo hàm cấp hai, học sinh nên làm theo quy trình chuẩn sau:

1. Tính đạo hàm cấp 1$f'(x)$.
2. Giải phương trình$f'(x) = 0$ để tìm các điểm nghi ngờ cực trị.
3. Tính đạo hàm cấp 2$f''(x)$.
4. Thay các nghiệm tìm được vào$f''(x)$; nếu$f''(x_0) > 0$,$x_0$là điểm cực tiểu, nếu$f''(x_0) < 0$,$x_0$là điểm cực đại.
5. Tính giá trị cực trị tương ứng$y_{CT} = f(x_{CT})$.
6. Xét thêm ranh giới miền xác định (nếu có) để không bỏ sót cực trị biên.

4. Các bước giải cụ thể với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$

Áp dụng đầy đủ các bước đã nêu:

1. Tính đạo hàm cấp 1:$y' = 3x^2 - 6x$.
2. Giải$y' = 0 \Rightarrow 3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow x(x-2) = 0 \Rightarrow x = 0$hoặc$x = 2$.
3. Tính đạo hàm cấp 2:$y'' = 6x - 6$.
4. Xét dấu tại$x = 0$:$y''(0) = -6 < 0 \Rightarrow x = 0$là điểm cực đại.
   Xét dấu tại$x = 2$:$y''(2) = 6 > 0 \Rightarrow x = 2$là điểm cực tiểu.
5. Tính giá trị cực trị:
   
   Tại$x = 0$,$y = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 2 = 2$.
   Tại$x = 2$,$y = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2$.
   
   Đáp số:
   - Điểm cực đại:$(0, 2)$
   - Điểm cực tiểu:$(2, -2)$

Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 2}$

Miền xác định:$x \ne 2$

Làm từng bước:

1. Đạo hàm cấp 1:
   $y' = \frac{(x - 2) \cdot 1 - (x + 1) \cdot 1}{(x - 2)^2} = \frac{x - 2 - x - 1}{(x - 2)^2} = -\frac{3}{(x - 2)^2}$.
2. Giải$y' = 0 \Rightarrow -\frac{3}{(x-2)^2} = 0$. Không có nghiệm.
3. Hàm số không có điểm cực trị trong miền xác định.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức đạo hàm cấp 1:
  -$\big(f(x)\big)' = f'(x)$
  - Đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương.
• Công thức đạo hàm cấp 2:$y'' = (y')'$
  
• Dấu hiệu cực trị bằng đạo hàm cấp hai:
  
  - Nếu$f'(x_0) = 0$,$f''(x_0) > 0 \rightarrow x_0$là cực tiểu.
  - Nếu$f'(x_0) = 0$,$f''(x_0) < 0 \rightarrow x_0$là cực đại.
  - Nếu$f'(x_0) = 0$,$f''(x_0) = 0$cần kiểm tra thêm (xem biến thiên hoặc đạo hàm bậc cao hơn).

6. Biến thể và điều chỉnh chiến lược

• Nếu$f'(x_0) = 0$và $f''(x_0) = 0$:
  - Xét đạo hàm bậc cao hơn (bậc$k > 2$), nếu tìm được bậc chẵn nhỏ nhất$k$sao cho$f^{(k)}(x_0) \neq 0$:
  - Nếu$k$chẵn và $f^{(k)}(x_0) > 0$:$x_0$là cực tiểu;
  - Nếu$k$chẵn và $f^{(k)}(x_0) < 0$:$x_0$là cực đại.
  - Nếu$k$lẻ:$x_0$không phải là điểm cực trị.
• Bài toán hàm số có tham số (chứa$a$,$m$,...):
  - Tìm điều kiện tham số để hàm có cực trị/thỏa mãn yêu cầu đề bài.
• Biến thể hàm số không xác định toàn trục số:
  - Phải kiểm tra thêm các điểm biên của miền xác định.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1

Tìm cực trị của hàm số $y = x^4 - 4x^2 + 1$.

1. Tính đạo hàm cấp 1:
   
   $y' = 4x^3 - 8x$
2. Giải $y' = 0$:
   $4x^3 - 8x = 0 \Leftrightarrow 4x(x^2 - 2) = 0 \Leftrightarrow x=0$hoặc$x^2=2\Leftrightarrow x = \pm \sqrt{2}$
3. Tính đạo hàm cấp 2:
   $y'' = 12x^2 - 8$
4. Thay các giá trị $x$vào$y''$:
   
   Tại $x = 0$: $y''(0) = -8 < 0 \rightarrow x=0$là cực đại.
   Tại$x = \pm \sqrt{2}$: $y''( \pm \sqrt{2}) = 12 \cdot 2 - 8 = 24-8=16>0 \rightarrow x= \pm \sqrt{2}$ là cực tiểu.
5. Tính giá trị cực trị:
   
   Tại $x=0$: $y = 0^4 - 4 \cdot 0^2 + 1 = 1$
   Tại $x= \pm \sqrt{2}$: $y = (\sqrt{2})^4 - 4(\sqrt{2})^2 + 1 = 4 - 8 + 1 = -3$
   
   Kết luận:
   - Cực đại: $(0,1)$
   - Cực tiểu: $(-\sqrt{2},-3)$, $(\sqrt{2},-3)$

8. Bài tập thực hành tự luyện

• Tìm cực trị của các hàm số sau (hãy sử dụng đúng 6 bước giải phía trên):
• a)$y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$
• b)$y = x^4 - 2x^2$
• c)$y = x + \frac{1}{x}$với$x > 0$
• d) $y = \sin x - \cos x$trên$[0, 2\pi]$

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Sau khi giải$f'(x) = 0$, LUÔN kiểm tra nghiệm có thuộc miền xác định không.
• Đừng bỏ sót kiểm tra dấu của$f''(x)$tại nghiệm của$f'(x) = 0$.
• Nhớ xét biên nếu hàm số xác định trên đoạn.
• Nếu$f''(x_0) = 0$, dùng bảng biến thiên hoặc đạo hàm bậc cao hơn.
• Không nhầm lẫn giữa giá trị cực trị và hoành độ cực trị.
• Tập luyện thêm các bài có tham số để vững kỹ năng tổng quát.

Hi vọng bài viết "cách giải bài toán tìm cực trị bằng đạo hàm cấp hai" đã giúp bạn có cái nhìn tổng thể và phương pháp giải quyết hiệu quả! Đừng quên luyện tập thêm nhiều bài để làm chủ kỹ thuật này.