Blog

Chiến Lược Giải Bài Toán Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Nhỏ Nhất Trên Khoảng Mở (Lớp 12)

T
Tác giả
6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán tìm GTLN - GTNN trên khoảng mở

Bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số trên một khoảng mở là một trong những dạng toán quan trọng trong chương 'Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số' lớp 12. Dạng toán này không chỉ giúp học sinh củng cố kỹ năng đạo hàm mà còn phát triển tư duy phân tích các tình huống biên giới và giới hạn, rất cần thiết cho các bài kiểm tra, kỳ thi THPT Quốc gia và các kỳ thi quan trọng khác.

2. Đặc điểm của bài toán tìm GTLN - GTNN trên khoảng mở

  • Khoảng mở (a;b)(a;b)không bao gồm các điểm biênaa,bb. Điều này có ý nghĩa: giá trị tạiaabbkhông được xét đến.
  • Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu tồn tại) chỉ có thể xảy ra tại các điểm cực trị bên trong khoảng hoặc giá trị tiệm cận giới hạn khixxtiến dần tớiaahoặcbb.
  • Không phải lúc nào hàm số cũng đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên khoảng mở.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán

Để giải quyết dạng toán này, học sinh cần thực hiện theo các bước chính sau:

  • a. Xác định miền xác định của hàm số trên khoảng đã cho.
  • b. Tìm các điểm cực trị bên trong khoảng (giải phương trìnhf(x)=0f'(x)=0vớix (a;b)x \ \in (a;b)).
  • c. Xét giới hạn củaf(x)f(x)khixxtiến dần tớiaabb(nếu cần), tức là tínhlimxa+f(x)\lim_{x \to a^+} f(x)limxbf(x)\lim_{x \to b^-} f(x).
  • d. So sánh các giá trị vừa tìm được để kết luận GTLN, GTNN (hoặc khẳng định không tồn tại).

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)=xx+1f(x)=\frac{x}{x+1}trên khoảng(0;2)(0;2).

-Bước 1: Xác định miền xác định: Hàm xác định trênx>1x > -1nên phù hợp với(0;2)(0;2).

-Bước 2: Tính đạo hàm:f(x)=1(x+1)x1(x+1)2=1(x+1)2f'(x)=\frac{1(x+1)-x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}

-Giảif(x)=01=0f'(x)=0 \Rightarrow 1=0(phương trình vô nghiệm), tức là không có điểm cực trị trong khoảng.

-Bước 3: Xét giới hạn tại hai đầu khoảng:

+limx0+xx+1=0\lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x+1} = 0

+limx2xx+1=23\lim_{x \to 2^-} \frac{x}{x+1} = \frac{2}{3}

-Bước 4: Kết luận: Vì trong khoảng(0;2)(0;2)không có cực trị, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu tồn tại) sẽ là các giá trị giới hạn tại đầu mút. Nếuxxcàng gần00,f(x)f(x)càng gần00; nếuxxcàng gần22,f(x)f(x)càng gần23\frac{2}{3}. Tuy nhiên, không có x=0x=0hayx=2x=2nênf(x)f(x)không đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất thực sự, nhưng các giá trị này là gần nhất.

Kết luận: Trên khoảng(0;2)(0;2), hàm số không đạt GTLN hay GTNN nhưng giá trị lớn nhất tiến tới23\frac{2}{3}khix2x \to 2^-, giá trị nhỏ nhất tiến tới00khix0+x \to 0^+.

Lưu ý: Ở các đề bài lớp 12 hoặc đề thi, trong trường hợp này thông thường chỉ cần mô tả giới hạn giá trị lớn nhất/nhỏ nhất, hoặc viết: “Giá trị lớn nhất là 23\frac{2}{3}, nhỏ nhất là 00nhưng không đạt được trong khoảng.”

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • Công thức đạo hàm:f(x)=0f'(x)=0(tìm điểm cực trị).
  • Giới hạn một bên:limxa+f(x)\lim_{x \to a^+} f(x),limxbf(x)\lim_{x \to b^-} f(x).
  • So sánh giá trị tại các điểm đặc biệt, điểm cực trị trong(a;b)(a;b)và giới hạn tại hai đầu khoảng.

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

  • Nếu bài toán cho trên nửa khoảng hoặc khoảng bị loại trừ thêm một số điểm, hãy kiểm tra kỹ miền xác định.
  • Nếu hàm số không liên tục trên khoảng mở, cần xét kỹ giới hạn một bên tại điểm gián đoạn.
  • Nếu miền xác định khác với khoảng cho, tìm giao giữa hai miền này.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập: Tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x)=x33xf(x) = x^3 - 3xtrên khoảng(1;2)(-1;2).

Giải:

  • Bước 1: Hàm số xác định và liên tục trênR\mathbb{R}, thoả mãn trên(1;2)(-1;2).
  • Bước 2: Tính đạo hàmf(x)=3x23=3(x21)f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1).
  • Giảif(x)=0f'(x)=0:x21=0x=1x^2-1=0 \Leftrightarrow x = 1hoặcx=1x = -1. Trong khoảng(1;2)(-1;2)x=1x=1(vì 1-1không thuộc khoảng do "khoảng mở").
  • Tínhf(1)=133.1=13=2f(1)=1^3-3.1=1-3=-2.
  • Bước 3: Xét giới hạn tại hai đầu khoảng:
  • limx(1)+(x33x)=(1)33(1)=1+3=2\lim_{x\to (-1)^+} (x^3-3x) = (-1)^3-3(-1) = -1 + 3 = 2.
  • limx2(x33x)=86=2\lim_{x\to 2^-} (x^3-3x) = 8-6=2.
  • So sánh ba giá trị:f(1)=2f(1)=-2, tại hai đầu mút đều tiến tới22. Vậy GTLN là 22(không đạt được), GTNN là 2-2(đạt tạix=1x=1).

Kết luận: Trên(1;2)(-1;2), giá trị nhỏ nhất là 2-2tạix=1x=1, giá trị lớn nhất là 22khix1+x\to -1^+hoặcx2x\to 2^-(không đạt tại điểm nào cụ thể).

8. Bài tập thực hành

  1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số g(x)=x22x+3g(x)=x^2-2x+3trên khoảng(0;2)(0;2).
  2. Tìm GTLN, GTNN củah(x)=2x1x+2h(x)=\frac{2x-1}{x+2}trên khoảng(1;3)(1;3).
  3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y=1xy=\frac{1}{x}trên khoảng(0;+)(0;+\infty).

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

  • Luôn kiểm tra xem điểm cực trị có nằm trong khoảng mở hay không.
  • Không được lấy giá trị tại hai đầu khoảng mở (a;b)(a;b)khi tìm GTLN/GTMN.
  • Chú ý xét đủ các trường hợp tiệm cận hoặc giới hạn hàm số khixxtiến về hai đầu mút.
  • Với hàm số bậc nhất, hay bậc nhất/bậc nhất, giá trị lớn nhất/nhỏ nhất chỉ nằm ở giới hạn hai đầu hoặc không có cực trị.
  • Đọc kỹ miền xác định, không được bỏ sót điểm loại trừ.

Tổng kết

Dạng toán tìm GTLN-GTNN trên khoảng mở có ý nghĩa ứng dụng lớn, kiểm tra sự hiểu biết sâu về giới hạn và cực trị hàm số. Học sinh cần vận dụng linh hoạt công cụ đạo hàm, giới hạn một bên, đồng thời cẩn trọng khi phân tích loại khoảng và miền xác định. Thường xuyên luyện tập và làm thêm nhiều dạng bài là cách tốt nhất để thành thạo kỹ năng này.

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".