Blog

Lớp 12

Chiến lược toàn diện giải bài toán Tìm GTLN - GTNN của hàm số trên đoạn [a; b] lớp 12

T
Tác giả
•
•6 phút đọc
Chia sẻ:
7 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán Tìm GTLN - GTNN trên đoạn [a; b] và tầm quan trọng

Trong chương trình toán lớp 12, bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một đoạn được sử dụng rất rộng rãi, cả trong kiểm tra, ôn thi THPT Quốc gia lẫn ứng dụng thực tiễn. Việc nắm vững cách giải bài toán Tìm GTLN - GTNN trên đoạn không chỉ giúp các em giải quyết tốt các câu hỏi trắc nghiệm, tự luận, mà còn phát triển tư duy tiếp cận vấn đề qua công cụ đạo hàm.

2. Đặc điểm của bài toán Tìm GTLN - GTNN trên đoạn

  • Bài toán luôn cho hàm số f(x)f(x)xác định trên đoạn[a;b][a; b].
  • Yêu cầu xác định giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) củaf(x)f(x)trên đoạn[a;b][a; b].
  • Có thể gặp hàm bậc nhất, bậc hai, phân thức, trị tuyệt đối hoặc hàm chứa căn,...

    • Biết chọn phương pháp phù hợp sẽ giúp giải nhanh, chính xác và hạn chế nhầm lẫn.

    3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán Tìm GTLN - GTNN trên đoạn

  • Bước 1: Kiểm tra miền xác định của hàm số trên đoạn[a;b][a; b].
  • Bước 2: Tính đạo hàmf′(x)f'(x), giải phương trìnhf′(x)=0f'(x) = 0 để tìm các điểm nghi ngờ cực trị trong(a;b)(a; b).
  • Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại hai đầu mútaa,bbvà tại các điểm tìm được ở bước 2 (chú ý loại bỏ điểm không thuộc[a;b][a; b]hoặc không xác định).
  • Bước 4: So sánh các giá trị vừa tìm, chọn GTLN và GTNN.

    • 4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x)=x2−4x+5f(x) = x^2 - 4x + 5trên đoạn[1;3][1; 3].

  • Bước 1: Hàm số xác định trên∀x ∈R⇒\forall x \ \in \mathbb{R} \Rightarrowxác định trên[1;3][1; 3].
  • Bước 2: Tính đạo hàm:f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4. Giải2x−4=0⇒x=22x-4 = 0 \Rightarrow x = 2(nằm trong(1;3)(1; 3)).
  • Bước 3: Tínhf(1)=12−4×1+5=2f(1) = 1^2-4×1+5 = 2;
    f(2)=22−4×2+5=4−8+5=1f(2) = 2^2-4×2+5 = 4-8+5=1;
    f(3)=32−4×3+5=9−12+5=2f(3) = 3^2-4×3+5 = 9-12+5=2.
  • Bước 4: So sánh: Trong các giá trị 2,1,22, 1, 2, GTLN = 2 tạix=1x=1và x=3x=3; GTNN = 1 tạix=2x=2.

    • Ví dụ 2: Tìm GTLN, GTNN củaf(x)=2x+1x+1f(x) = \frac{2x+1}{x+1}trên[0;2][0; 2].

  • Hàm số xác định vớix≠−1x \neq -1, đoạn[0;2][0;2] đều xác định.
  • Tínhf′(x)=2(x+1)−(2x+1)×1(x+1)2=2x+2−2x−1(x+1)2=1(x+1)2>0 ∀x>−1f'(x)=\frac{2(x+1)-(2x+1)\times 1}{(x+1)^2}=\frac{2x+2-2x-1}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}>0\ \forall x> -1.
  • Dof′(x)>0f'(x)>0, hàm số đồng biến trên[0,2][0,2]nên GTLN đạt tạix=2x=2, GTNN tạix=0x=0.
  • Tínhf(0)=2×0+10+1=1f(0)=\frac{2 \times 0+1}{0+1}=1,f(2)=2×2+12+1=53f(2)=\frac{2 \times 2+1}{2+1}=\frac{5}{3}.
  • Kết luận: GTLN =53\frac{5}{3}tạix=2x=2, GTNN =11tạix=0x=0.

    • 5. Công thức, kỹ thuật cần nhớ

  • Đạo hàmf′(x)=0f'(x) = 0tìm điểm nghi ngờ cực trị trong(a;b)(a; b).
  • So sánh giá trị tại các điểmaa,bbvà điểm cực trị.
  • Nếu hàm số bậc nhất hoặc đồng biến/nghịch biến trên[a;b][a; b]thì chỉ cần xét hai đầu mút.
  • Nếu có căn/thương, kiểm tra kỹ điều kiện xác định!

    • 6. Biến thể và điều chỉnh chiến lược

  • Nếuhaˋm so^ˊhàm~sốchỉ xác định trên một phần đoạn[a;b][a; b], chỉ xét trong miền xác định.
    • Hình minh họa: Đồ thị hàm số f(x) = (2x+1)/(x+1) trên đoạn [0;2], đánh dấu GTNN = 1 tại x = 0 và GTLN = 5/3 tại x = 2
    Đồ thị hàm số f(x) = (2x+1)/(x+1) trên đoạn [0;2], đánh dấu GTNN = 1 tại x = 0 và GTLN = 5/3 tại x = 2
    Hình minh họa: Đồ thị hàm số f'(x) = 3x² - 12x + 9 trên đoạn [0, 4], đánh dấu hai nghiệm x = 1 và x = 3, đồng thời minh họa vùng f'(x) ≥ 0 (màu xanh lá nhạt) và f'(x) ≤ 0 (màu đỏ nhạt)
    Đồ thị hàm số f'(x) = 3x² - 12x + 9 trên đoạn [0, 4], đánh dấu hai nghiệm x = 1 và x = 3, đồng thời minh họa vùng f'(x) ≥ 0 (màu xanh lá nhạt) và f'(x) ≤ 0 (màu đỏ nhạt)
  • Nếuf(x)f(x)có trị tuyệt đối, căn: đổi biến phụ nếu cần; đặttthay xử lý điều kiện xác định.
  • Có thể lập bảng biến thiên nếu không chắc chắn về số điểm cực trị hoặc dạng hàm phức tạp.

    • 7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

    Bài tập: Tìm GTLN, GTNN củaf(x)=x3−6x2+9x+1f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1trên đoạn[0;4][0; 4].

  • Bước 1: Hàm xác định trênR⇒\mathbb{R} \Rightarrowxác định trên[0;4][0;4].
  • Bước 2:f′(x)=3x2−12x+9f'(x) = 3x^2 -12x + 9. Giải3x2−12x+9=0⇔x2−4x+3=0⇔x=13x^2 -12x + 9 = 0 \Leftrightarrow x^2 -4x+3=0 \Leftrightarrow x=1hoặcx=3x=3(cả hai đều thuộc[0;4][0;4]).
  • Bước 3: Tínhf(0)=0−0+0+1=1f(0)=0-0+0+1=1;f(1)=1-6+9+1=5;f(3)=27-54+27+1=1;f(4)=64−96+36+1=5f(4)=64-96+36+1=5.
  • Bước 4: Các giá trị: 1, 5, 1, 5. GTLN = 5 tạix=1;x=4x=1; x=4, GTNN = 1 tạix=0;x=3x=0; x=3.

    • 8. Bài tập thực hành

  • Bài 1: Tìm GTLN, GTNN củaf(x)=2x2−8x+7f(x)=2x^2-8x+7trên[1;4][1; 4].
  • Bài 2: Tìm GTLN, GTNN củaf(x)=x+2x+1f(x)=\frac{x+2}{x+1}trên[0;3][0; 3].
  • Bài 3: Tìm GTLN, GTNN củaf(x)=∣x−2∣f(x)=|x-2|trên[1;5][1; 5].
  • Bài 4: Tìm GTLN, GTNN của f(x)=4−xf(x)=\sqrt{4 - x}trên[0;4][0; 4].

    • 9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm khi giải bài toán Tìm GTLN - GTNN trên đoạn

  • Luôn kiểm tra điều kiện xác định của hàm số trên đoạn xét.
  • Không bỏ sót điểm đầu múta,ba, bkhi so sánh giá trị.
  • Sau khi giảif′(x)=0f'(x) = 0, chỉ chọn nghiệm thuộc[a;b][a; b]và nằm trong miền xác định.
  • Với hàm phân thức/hàm chứa căn, chú ý loại nghiệm gây mẫu bằng 0 hoặc biểu thức dưới căn âm.
  • Nên lập bảng biến thiên cho các hàm phức tạp hoặc cần kiểm tra lại biến thiên của hàm số.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".