Chiến lược giải bài toán Tìm GTLN - GTNN trên khoảng mở lớp 12: Tư duy, ví dụ và bài tập

1. Giới thiệu về bài toán Tìm GTLN - GTNN trên khoảng mở

Trong chương trình Toán lớp 12, việc xác định giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên các khoảng xác định là một kỹ năng đặc biệt quan trọng. Đề thi THPT Quốc gia, kiểm tra học kỳ hay các kỳ thi học sinh giỏi đều có dạng bài tập này. Đặc biệt, dạng tìm GTLN - GTNN trên khoảng mở thường gây khó khăn cho học sinh do bản chất của khoảng mở(ví dụ:$(a;b)$,$(-\frac{C}{2}; +1E)$,...)là không bao gồm giá trị tại hai đầu mút.

Bài toán này giúp các em rèn luyện tư duy biện luận, phân tích hàm số, củng cố kỹ năng sử dụng đạo hàm – năng lực then chốt trong giải tích hiện đại.

2. Đặc điểm của bài toán Tìm GTLN - GTNN trên khoảng mở

• Khoảng mở $(a; b)$không bao gồm hai điểm$a$,$b$.
• Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu tồn tại) không đạt tại hai đầu mút.
• Hàm số có thể không đạt GTLN/GTNN nếu tiến ra gần đầu mút mà không “chạm” được – cần khảo sát giới hạn.
• Có thể xuất hiện cực trị trong khoảng và các điểm không xác định.

3. Chiến lược tổng thể giải bài toán

1. Tìm tập xác định của hàm số trên khoảng kiểm tra.
2. Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên xác định xu hướng tăng/giảm của hàm số.
3. Xét các điểm đặc biệt: Cực trị trong khoảng, điểm không xác định, điểm lạ.
4. Tính giới hạn của hàm số khi$x \to a^+$và $x \to b^-$. So sánh giới hạn với giá trị tại các điểm đặc biệt.
5. Kết luận về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) hoặc biện luận nếu không tồn tại.

4. Các bước giải cụ thể – Ví dụ minh họa

Xét ví dụ sau:

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \frac{x}{x-1}$trên khoảng$(2;5)$.

Hướng dẫn giải từng bước:

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$mà $(2;5)$hoàn toàn thuộc$D$.
2. Tính đạo hàm:$f'(x) = \frac{1 \cdot (x-1) - x \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x-1 - x}{(x-1)^2} = \frac{-1}{(x-1)^2} < 0$với mọi$x > 2$.
   ewline \rightarrow $Hàm số luôn nghịch biến trên$(2;5)$.
3. Xét giới hạn về đầu mút:
   ewline$\lim\limits_{x \to 2^+} f(x) = \frac{2}{2-1} = 2$
   ewline$\lim\limits_{x \to 5^-} f(x) = \frac{5}{5-1} = 1,25$
4. Vì hàm nghịch biến, khi$x$càng nhỏ (xấp xỉ 2),$f(x)$càng lớn. Khi$x$càng lớn (xấp xỉ 5),$f(x)$càng nhỏ.
   ewline trên$(2;5)$không có cực trị, không có điểm không xác định.
5. Vậy GTLN tiến ra$x \to 2^+$là 2 (không đạt được), giá trị nhỏ nhất là 1,25 khi$x \to 5^{-}$.
6. Kết luận: Trên$(2;5)$,$1,25 < f(x) < 2$với mọi$x \in (2;5)$. Hàm không đạt GTLN, GTNN tại một điểm nào trong khoảng, chỉ tiến tới các giá trị ấy.

Chú ý: Nếu hàm có cực trị nằm trong$(a;b)$thì kiểm tra giá trị đó nữa.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Cách tính đạo hàm:$f'(x)$
• Lập bảng biến thiên: Dùng dấu$f'(x)$, xét chiều biến thiên
• Tính giới hạn:$\lim\limits_{x \to a^+} f(x),\ \lim\limits_{x \to b^-} f(x)$
• Tìm nghiệm$f'(x) = 0$(cực trị nội khoảng)
• Nếu hàm liên tục và có cực trị trong khoảng: So sánh các giá trị

6. Biến thể bài toán & Điều chỉnh chiến lược

• Khoảng xác định không là khoảng liền mạch do điều kiện xác định: Phải tìm tập xác định thật kỹ.
• Hàm có điểm không xác định bên trong (lỗ trống, tiệm cận): Xét thêm các điểm đó.
• Khoảng vô tận:$(-\infty, a)$,$(a, +\infty)$, cần kiểm tra giới hạn tiến ra vô cùng.
• Bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất bé hơn$M$, nhỏ nhất lớn hơn$m$– cần lý luận kỹ.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $f(x) = x^3 - 3x$trên khoảng$(-2;1)$.

1. Tập xác định:$D = \mathbb{R}$, khoảng$(-2;1)$thuộc$D$.
2. Tính đạo hàm:$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$
3. Tìm nghiệm$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1; x = 1$
4. -$x = -1$thuộc$(-2;1)$,$x = 1$không thuộc (vì khoảng mở không lấy$x = 1$)
5. Tính$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$
6. Tính giới hạn:
   ewline$\lim\limits_{x \to -2^+} f(x) = (-2)^3 - 3(-2) = -8 + 6 = -2$
   ewline$\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = 1^3 - 3 1e 1 = 1 - 3 = -2$
7. So sánh$f(-1) = 2$, các giá trị giới hạn là $-2$.
8. Kết luận: Trên$(-2;1)$, GTLN là $2$tại$x = -1$, GTNN là $-2$(không đạt được, khi$x$tiến ra hai mút).

8. Bài tập thực hành cho học sinh

• Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm$f(x) = \frac{x^2-2x+3}{x+1}$trên khoảng$(0;2)$.
• Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của $f(x) = \sqrt{4-x^2}$trên$(-2;2)$.
• Bài 3: Tìm GTLN và GTNN của$y = x-\frac{1}{x}$trên$(0;+1E)$.
• Bài 4: Tìm GTLN và GTNN của$f(x) = \frac{1}{x}$trên$(0;1)$.

9. Mẹo & Lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Cẩn thận với điểm cực trị: Có đạt hay không trong khoảng mở?
• Luôn tính GIỚI HẠN về các đầu mút – nhưng không lấy giá trị tại mút.
• Chú ý kiểm tra từng điểm không xác định có nằm trong khoảng.
• Vẽ bảng biến thiên để nắm rõ chiều biến thiên và các điểm đặc biệt.
• Luôn so sánh giá trị tại các điểm cực trị và giá trị giới hạn để kết luận.
• Không nhầm lẫn giá trị “gần tới” với giá trị “đạt được” trong khoảng mở.

Hy vọng bài viết này giúp các bạn học sinh hiểu vững vềcách giải bài toán Tìm GTLN - GTNN trên khoảng mởvà vận dụng hiệu quả vào bài thi và thực hành. Luôn luyện tập và phản biện các ví dụ để thành thạo nhé!