1. Giới thiệu về bài toán tìm tiệm cận và phân tích đồ thị

Trong chương trình Toán lớp 12, bài toán về "tìm tiệm cận và phân tích đồ thị" là một nội dung trọng tâm thuộc phần Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Đây không chỉ là kiến thức nền tảng để học tiếp giải tích đại học, mà còn thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi THPT Quốc gia, kiểm tra học kỳ và các bài kiểm tra đánh giá năng lực toán học.

2. Đặc điểm của bài toán tìm tiệm cận và phân tích đồ thị

Bài toán này yêu cầu học sinh xác định các loại tiệm cận (đứng, ngang, xiên) của đồ thị hàm số và đưa ra các phân tích về tính liên tục, cực trị, sự biến thiên, điểm uốn, các giao điểm với trục toạ độ,... từ đó phục vụ cho việc vẽ đồ thị chính xác.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán

Để giải hiệu quả bài toán này, học sinh cần tuân thủ quy trình sau:

• Xác định tập xác định của hàm số.
• Tìm các tiệm cận đứng, ngang, xiên (nếu có).
• Tính đạo hàm, tìm các điểm tới hạn, cực trị, xét dấu đạo hàm để xác định khoảng tăng, giảm.
• Tính đạo hàm cấp hai để tìm điểm uốn và tính chất lồi lõm.
• Giao với các trục toạ độ.
• Tổng hợp lại bảng biến thiên và dựng đồ thị.

4. Các bước giải quyết bài toán chi tiết (có ví dụ minh họa)

Xét ví dụ: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{2x+1}{x-1}$

1. Tập xác định:$x \neq 1$
2. Tiệm cận:
   - Tiệm cận đứng:$x = 1$
   - Tiệm cận ngang:$\lim\limits_{x \to \pm \infty} y = 2$(do bậc tử và mẫu bằng nhau, lấy hệ số tương ứng)
3. Đạo hàm:
   $y' = \frac{(2)(x-1) - (2x+1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{2x-2-2x-1}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$
   Đạo hàm luôn âm, hàm luôn nghịch biến trên các khoảng xác định.
4. Tìm điểm cực trị: Không có vì đạo hàm không đổi dấu.
5. Tìm điểm uốn: Đạo hàm bậc 2$y'' = \frac{6}{(x-1)^3}$, giải$y''=0$không có nghiệm$ightarrow$không có điểm uốn.
6. Giao với trục$Ox$:$y=0 \Leftrightarrow 2x+1=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{2}$
   Giao với trục$Oy$:$x=0 \Rightarrow y=\frac{1}{-1}=-1$
7. Bảng biến thiên:
   - Hàm số nghịch biến trên$(-\infty;1)$và $(1;+\infty)$.
   - Tiệm cận đứng$x=1$, tiệm cận ngang$y=2$. Không có cực trị, không có điểm uốn.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Tiệm cận đứng:$\lim\limits_{x \to a} f(x) = \pm \infty$với$x=a$là điểm làm mẫu số bằng 0 và tử số khác 0.
• Tiệm cận ngang:
- Nếu$\deg(P(x))<\deg(Q(x))$thì $y=0$là tiệm cận ngang
- Nếu$\deg(P(x))=\deg(Q(x))$, tiệm cận ngang$y = \frac{a}{b}$với$a,b$là hệ số cao nhất tử, mẫu
- Nếu$\deg(P(x))=\deg(Q(x))+1$, có tiệm cận xiên$y=ax+b$, chia đa thức tìm hệ số
• Đạo hàm: Dùng quy tắc đạo hàm phân thức, đạo hàm cấp hai để xét lồi lõm, điểm uốn

6. Biến thể bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• Nếu hàm số là phân thức bậc cao: Chú ý phân tích đa thức, chia đa thức để tìm tiệm cận.
• Hàm chưa cho dạng tường minh: Biến đổi về dạng cơ bản (phân thức, căn thức,...).
• Đối với các hàm lẻ, chẵn: Sử dụng tính đối xứng khi vẽ đồ thị.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài toán: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y=\frac{x^2-2}{x-1}$.
Giải chi tiết:

1. Tập xác định:$x \neq 1$
2. Tiệm cận:
   - Đứng:$x=1$
   - Ngang:$\lim\limits_{x\to \pm \infty}\frac{x^2-2}{x-1} = +\infty$(không có tiệm cận ngang, vì tử bậc lớn hơn mẫu)
   - Xiên: Chia$x^2-2$cho$x-1$:$x^2-2 = (x-1)x + (x-2)$, tiếp:$x-2 = (x-1)1 -1$, gộp lại, kết quả $y \approx x+1$khi$x \to \pm \infty$. Vậy tiệm cận xiên$y = x + 1$.
3. Đạo hàm:
   $y' = \frac{(2x)(x-1)-(x^2-2) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{2x(x-1)-x^2+2}{(x-1)^2} = \frac{2x^2-2x-x^2+2}{(x-1)^2} = \frac{x^2-2x+2}{(x-1)^2}$
   Tìm cực trị: Giải$y'=0 \Rightarrow x^2-2x+2=0$không có nghiệm thật nên không có cực trị.
4. Đạo hàm bậc hai:
   $y'' = \frac{2(x-1)^2 - 2(x^2-2x+2)(x-1)}{(x-1)^4}$
   Giải$y''=0$ để tìm điểm uốn. Đây là phương trình bậc ba, học sinh tự giải.
5. Giao với trục hoành: $y=0 \Leftrightarrow x^2-2=0 \Rightarrow x= \pm \sqrt{2}$
   Giao với trục tung: $x=0 \Rightarrow y=-2/-1=2$
6. Bảng biến thiên: Xét dấu tử số của đạo hàm xác định tính đơn điệu.

8. Bài tập thực hành

Bài 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y=\frac{3x-4}{x+2}$.
Bài 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{x^2-4}$.
Bài 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y=\frac{x^2}{x-1}$.
Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y=\frac{2x^2+1}{x-3}$.
Làm trọn vẹn các bước khảo sát, từ xác định tập xác định, tiệm cận, bảng biến thiên đến đồ thị.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Chú ý phân biệt rõ dạng tiệm cận đứng, ngang, xiên và chỉ ra chính xác vị trí.
• Luôn kiểm tra tập xác định để tránh những điểm loại trừ khi vẽ bảng biến thiên.
• Với đạo hàm phân thức, thực hiện cẩn thận quy tắc đạo hàm chia hai hàm số.
• Khi vẽ đồ thị, chú ý đến tiệm cận và các điểm đặc biệt như giao trục, cực trị, điểm uốn.
• Có thể phác họa đồ thị nháp để kiểm tra lại thứ tự các điểm, hình dáng tổng thể của đồ thị.