Hướng dẫn chi tiết chiến lược giải bài toán ‘Tìm tọa độ điểm khi biết hình học’ lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán ‘Tìm tọa độ điểm khi biết hình học’

Trong chương trình Toán 12, dạng bài toán “Tìm tọa độ điểm khi biết hình học” xuất hiện rất nhiều trong các đề kiểm tra và kỳ thi lớn. Đây là dạng toán kết hợp chặt chẽ giữa kiến thức Hình học không gian với phương pháp tọa độ, đòi hỏi học sinh vừa tư duy logic, vừa vận dụng linh hoạt các phương pháp giải bài toán tọa độ trong không gian. Dạng bài này không những giúp rèn luyện kỹ năng phân tích, mà còn là bước đệm cho các bài toán khó hơn về hình học không gian Oxyz.

2. Đặc điểm của dạng bài toán này

- Dữ kiện bài toán chủ yếu là các điều kiện hình học (điểm thuộc, đường vuông góc, khoảng cách, điểm chia tỉ lệ, v.v…) kết hợp với thông tin về tọa độ các điểm/đường/phẳng đã biết.

- Bài toán yêu cầu xác định tọa độ điểm (hoặc nhiều điểm) thỏa mãn đồng thời các điều kiện hình học đó.

- Có thể xuất hiện nhiều dạng: Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ lệ, điểm thuộc mặt phẳng, điểm cùng thuộc một đường thẳng…

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để giải bài toán, cần thực hiện các bước sau:

• Tóm tắt điều kiện của bài toán, xác định rõ ẩn cần tìm.
• Biểu diễn tọa độ điểm chưa biết bằng ký hiệu biến (x, y, z...).
• Dựa vào điều kiện hình học, thiết lập các phương trình liên quan đến tọa độ đó.
• Giải hệ phương trình (thường bậc nhất, bậc hai) để tìm ra tọa độ cần thiết.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ minh họa:

Cho hình chóp$S.ABC$có đáy$ABC$là tam giác với$A(1;2;3), B(3;1;0), C(2;0;1)$,$S(0;3;1)$. Tìm tọa độ điểm$M$thuộc cạnh$SA$sao cho$M$chia$SA$theo tỉ lệ $SM:MA=2:1$.

• Bước 1: Gọi tọa độ điểm$M$trên$SA$là $M(x; y; z)$. Xét$SA$có $S(0;3;1)$,$A(1;2;3)$.
• Bước 2: Vì $M$chia đoạn$SA$theo tỉ lệ $2:1$nên$\frac{SM}{MA} = \frac{2}{1}$.
• Bước 3: Sử dụng công thức điểm chia đoạn thẳng:
  
  
  
  $M = \left( \frac{a x_2 + b x_1}{a+b}, \frac{a y_2 + b y_1}{a+b}, \frac{a z_2 + b z_1}{a+b} \right)$
  
  
  với$S(x_1; y_1; z_1)$,$A(x_2; y_2; z_2)$,$SM:MA = a:b$.
  
• Bước 4: Thay số vào, ta được:
  
  $M=\left( \frac{2<em>1 + 1</em>0}{2+1}, \frac{2<em>2+1</em>3}{2+1}, \frac{2<em>3+1</em>1}{2+1} \right) = \left(\frac{2}{3}, \frac{7}{3}, \frac{7}{3}\right)$
  
  
  =>$M\left(\frac{2}{3}; \frac{7}{3}; \frac{7}{3}\right)$
  

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức chia đoạn thẳng: Với$A(x_1; y_1; z_1), B(x_2; y_2; z_2)$, điểm$M$chia$AB$theo tỉ lệ $AM:MB = m:n$thì:
  
  $M=\left(\frac{n x_1 + m x_2}{m+n}, \frac{n y_1 + m y_2}{m+n}, \frac{n z_1 + m z_2}{m+n}\right)$
• Công thức khoảng cách giữa hai điểm $A, B$:
  
  $AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$
• Công thức phương trình mặt phẳng, đường thẳng trong Oxyz (nếu liên quan).
• Phương pháp dựng ẩn số, biến đổi hình học sang phương trình tọa độ.

6. Các biến thể thường gặp & cách điều chỉnh chiến lược

• Tìm điểm thuộc đoạn, đường thẳng, chia tỉ lệ: Sử dụng công thức chia đoạn (như trên).
• Tìm điểm thuộc mặt phẳng: Thay tọa độ ẩn vào phương trình mặt phẳng, kết hợp điều kiện khác để thiết lập hệ phương trình.
• Tìm điểm thỏa mãn hai điều kiện (thuộc mặt phẳng và thuộc đường thẳng…): Lập hệ hai phương trình liên quan.
• Tìm điểm đối xứng, trung điểm, giao điểm các đối tượng hình học: Áp dụng định nghĩa, công thức tương ứng.

7. Bài tập mẫu giải chi tiết từng bước

Bài tập: Cho$A(2;3;0)$,$B(5;1;2)$,$C(1;2;4)$. Tìm tọa độ điểm$M$trên đoạn$BC$sao cho$AM$vuông góc$BC$.

Hướng dẫn giải từng bước:

• Bước 1: Gọi$M(x; y; z)$thuộc$BC$.
  Vì $M$thuộc$BC$nên:
  $M = (1 + t(5-1), 2 + t(1-2), 4 + t(2-4)) = (1 + 4t, 2 - t, 4 - 2t)$với$0 \leq t \leq 1$.
• Bước 2: Để $AM \perp BC$thì $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$.
  Ta có:
  $\overrightarrow{AM} = (x - 2, y - 3, z)$
  $\overrightarrow{BC} = (5-1, 1-2, 2-4) = (4, -1, -2)$
• Bước 3: Tính tích vô hướng:
  $(x-2)<em>4 + (y-3)</em>(-1) + (z-0)<em>(-2) = 0$
  Thay biểu thức$x, y, z$:
  $(1 + 4t - 2)</em>4 + (2 - t - 3)<em>(-1) + (4 - 2t)</em>(-2) = 0$
• Bước 4: Rút gọn:
  $(4t -1)<em>4 = 16t -4$
  $( -1 - t)</em>(-1) = 1 + t$
  $(4 - 2t)*(-2) = -8 + 4t$
  Tổng lại:$16t -4 + 1 + t -8 + 4t = 0$
  $16t + t + 4t = 21t$,$-4 + 1 -8 = -11$
  $21t -11 = 0 \implies t = \frac{11}{21}$
• Bước 5: Thay$t$vào tọa độ:
  
  $x = 1 + 4<em>\frac{11}{21} = 1 + \frac{44}{21} = \frac{65}{21}$
  
  y =$2 - \frac{11}{21} = \frac{42-11}{21} = \frac{31}{21}$
  
  z =$4 - 2</em>\frac{11}{21} = 4 - \frac{22}{21} = \frac{62}{21}$
  
  Vậy$M \left( \frac{65}{21}, \frac{31}{21}, \frac{62}{21} \right)$

8. Bài tập thực hành tự luyện

1. Cho $A(0;0;0)$, $B(3;3;3)$, $C(6;3;0)$. Tìm tọa độ điểm $M$trên$AB$sao cho$CM = 5$. 2. Cho $A(1;2;4)$, $B(5;3;6)$, $C(4;5;2)$. Tìm tọa độ điểm $M$thuộc mặt phẳng$(ABC)$thỏa mãn$AM = 3, BM = 2$. 3. Cho đường thẳng $d: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z+1}{3}$. Tìm trên $d$ điểm$M$cách điểm$A(2;1;0)$một khoảng bằng$\sqrt{14}$.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn đọc kỹ giả thiết, xác định rõ điều kiện hình học và tọa độ đã biết/chưa biết.
• Thành thạo các công thức chia đoạn, khoảng cách, tích vô hướng, phương trình đường thẳng, mặt phẳng.
• Dựng đúng các biến ẩn, không nhầm lẫn giữa chỉ số chia đoạn, tỉ lệ, hướng đoạn thẳng.
• Giải và kiểm tra nghiệm hợp lý trong phạm vi ý nghĩa hình học (ví dụ $0 \leq t \leq 1$với điểm trên đoạn, tỉ lệ phải dương khi chia trong đoạn thẳng...).
• Chú ý tính chính xác khi thay số, đặc biệt là phân số và căn bậc hai.