Chiến lược giải bài toán Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số lớp 12

1. Giới thiệu về dạng bài toán

Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số là dạng bài trọng tâm trong chương trình Giải tích lớp 12, nằm trong chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Dạng bài này thường xuyên xuất hiện trong kiểm tra 15 phút, kiểm tra 1 tiết, thi học kỳ, đặc biệt là trong đề thi THPT Quốc gia.

Học sinh cần nắm chắc kỹ năng giải bởi đây là "chìa khóa" để chinh phục các câu hỏi khảo sát hàm số và giải quyết nhiều bài toán thực tế. Bạn có thể luyện tập với 49.660+ bài tập cách giải Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số miễn phí bên dưới.

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

Dạng bài tập này thường yêu cầu xác định:

• Khoảng đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số
• Các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu) của hàm số
• Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng

Từ khóa thường gặp: “đơn điệu”, “đồng biến”, “nghịch biến”, “cực trị”, “cực đại”, “cực tiểu”, “nghiệm phương trình f'(x) = 0”.

2.2 Kiến thức cần thiết

• Công thức tính đạo hàm
• Định lí về tính đơn điệu:$f'(x)>0 \Rightarrow f(x)$ đồng biến,$f'(x)<0 \Rightarrow f(x)$nghịch biến
• Điều kiện đủ để $x_0$là cực trị:$f'(x_0)=0$và $f'(x)$ đổi dấu khi qua$x_0$.
• Kỳ năng giải phương trình và bất phương trình bậc 2, bậc 3
• Liên hệ với các chủ đề: khảo sát hàm số, hình học tọa độ, bài toán tối ưu

3. Chiến lược giải quyết tổng thể

3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

• Đọc kỹ đề, gạch chân yêu cầu (tìm khoảng đơn điệu/điểm cực trị...)
• Tìm hiểu dữ liệu cho sẵn (hàm số, miền xác định, tham số…)

3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

• Xác định phương pháp giải (tính đạo hàm bậc nhất, xác định dấu…)
• Dự đoán kết quả (hàm bậc 2 thường có một cực trị, hàm bậc 3 có tối đa hai cực trị…)

3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

• Tính đạo hàm$f'(x)$
• Tìm nghiệm phương trình$f'(x)=0$(các điểm nghi ngờ cực trị)
• Lập bảng biến thiên để xác định đơn điệu và cực trị
• Kiểm tra lại kết quả hoặc thử với các giá trị đặc biệt

4. Các phương pháp giải chi tiết

4.1 Phương pháp cơ bản

Phương pháp truyền thống là:

• Tính$f'(x)$, giải phương trình$f'(x)=0$
• Lập bảng biến thiên: điền các giá trị đặc biệt, xét dấu$f'(x)$các khoảng
• Xác định những điểm tại đó $f'(x)$ đổi dấu → điểm cực trị

Ưu điểm: Phù hợp với mọi hàm số cơ bản; Nhược điểm: mất thời gian với các hàm phức tạp; Sử dụng khi đề bài yêu cầu xét đơn điệu hoặc tìm cực trị của hàm đa thức, phân thức đơn giản.

4.2 Phương pháp nâng cao

• Sử dụng định lí dấu tam thức bậc hai, bậc ba để xét nhanh dấu$f'(x)$
• Nhớ công thức nghiệm nhanh, phân tích hệ số giúp đơn giản hóa bước giải
• Với những hàm số có tham số, biến đổi biểu thức theo điều kiện đề bài để xét trường hợp

Sử dụng khi bài toán lớn, nhiều biến hoặc yêu cầu tối ưu hóa thời gian giải. Mẹo: luyện tập phân biệt các dạng hàm số để chọn phương pháp phù hợp!

5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

5.1 Bài tập cơ bản

Đề bài: Khảo sát tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của hàm số $f(x) = x^3 - 3x + 1$trên$b R$.

Bước 1: Tính đạo hàm:

$f'(x) = 3x^2 - 3$

Bước 2: Giải$f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 1 \Leftrightarrow x = 1$hoặc$x = -1$

Bước 3: Lập bảng biến thiên:

- Với$x < -1$,$f'(x) > 0$➔ hàm đồng biến

-$x = -1$là điểm nghi ngờ cực trị.

- Với$-1 < x < 1$,$f'(x)<0$➔ hàm nghịch biến

-$x=1$là điểm nghi ngờ cực trị.

- Với$x > 1$,$f'(x) > 0$➔ hàm đồng biến

- Điểm cực đại tại$x=-1$, giá trị $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3$

- Điểm cực tiểu tại$x=1$, giá trị $f(1) = 1^3 - 3*1 + 1 = 1 -3 +1 = -1$

5.2 Bài tập nâng cao

Đề bài: Tìm m để hàm số $y = x^3 - 3mx + 2$có ba điểm cực trị đôi một phân biệt.

Lời giải:

Tính đạo hàm $y' = 3x^2 - 3m$. Để có 2 nghiệm phân biệt $\Rightarrow 3x^2 - 3m = 0 \Leftrightarrow x^2 = m \Rightarrow m > 0$(để có hai nghiệm$x = \pm \sqrt{m}$).

Các điểm cực trị phân biệt khi các giá trị $y(\sqrt{m}), y(-\sqrt{m}), y(0)$ đôi một khác nhau. Bạn có thể lập bảng xem từng trường hợp. Đáp án chi tiết yêu cầu xét$m>0$, kiểm tra số điểm cực trị tại $x= \pm \sqrt{m}$và $x=0$.

So sánh: Có thể dùng đồ thị hoặc phương trình ẩn để phân tích trường hợp còn lại.

6. Các biến thể thường gặp

• Tìm tham số $m$ để hàm số đồng biến/nghịch biến
• Bài toán cực trị trên đoạn kín
• Phối hợp với các hàm số lượng giác, phân thức, căn thức

Điều chỉnh chiến lược bằng cách xét kỹ hơn điều kiện xác định, chia miền xác định hợp lý, áp dụng các phép biến đổi hoặc liên kết với kiến thức khác trong kiểm tra kết quả.

7. Lỗi phổ biến và cách tránh

7.1 Lỗi về phương pháp

• Quên xét điều kiện xác định
• Chọn nhầm công thức đạo hàm
• Không kiểm tra dấu đổi dấu tại nghiệm

Cách tránh: Luôn kiểm tra χác định, ghi nhớ công thức đạo hàm cơ bản, soát lại bảng biến thiên.

7.2 Lỗi về tính toán

• Tính đạo hàm sai, giải nghiệm sai
• Nhầm lẫn dấu khi lập bảng biến thiên
• Làm tròn kết quả sớm khi chưa cần thiết

Luôn kiểm tra lại phép tính, sử dụng máy tính khi có thể và đối chiếu nhiều lần.

8. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập 49.660+ bài tập cách giải Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số miễn phí. Không cần đăng ký — bắt đầu luyện tập ngay lập tức, theo dõi tiến độ, nâng cao kỹ năng giải toán dễ dàng.

9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

• Chia đều 3-4 buổi mỗi tuần để luyện tập các dạng bài cơ bản và nâng cao
• Đặt mục tiêu số lượng bài làm đúng mỗi tuần
• Cuối mỗi tuần, tự đánh giá tiến độ và khắc phục lỗi