Chiến lược giải bài toán Tính xác suất có điều kiện – Dễ hiểu và đầy đủ cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán Tính xác suất có điều kiện

Bài toán tính xác suất có điều kiện thuộc chương VI – Xác suất có điều kiện, nằm trong chương trình toán lớp 12. Đây là loại bài tập rất quan trọng bởi kiến thức này không chỉ xuất hiện nhiều trong bài kiểm tra, thi THPT Quốc gia, mà còn là nền tảng cho các bài toán ứng dụng trong xác suất, thống kê thực tế hay các kỳ thi học sinh giỏi, Olympic.

Tính xác suất có điều kiện giúp bạn trả lời chính xác các câu hỏi kiểu: "Nếu đã biết một sự kiện nào đó xảy ra, xác suất để một sự kiện khác đồng thời xảy ra là bao nhiêu?".

2. Đặc điểm của bài toán xác suất có điều kiện

• Có 2 sự kiện thường được nhắc tới: sự kiện đã biết xảy ra (B), và sự kiện cần tìm xác suất (A).
• Dựa trên thông tin 'điều kiện', không phải trên không gian mẫu ban đầu mà ở 'không gian mới' – những trường hợp đã thỏa mãn điều kiện B.
• Thường gắn liên với bài toán đếm, xác suất đồng thời, xác suất có ràng buộc.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để giải một bài toán xác suất có điều kiện, luôn cần thực hiện các bước:

1. Xác định rõ các sự kiện A (dẫn đến kết quả cần tìm) và B (điều kiện đã biết xảy ra).
2. Tính số phần tử không gian mẫu hoặc các xác suất cần thiết.
3. Tính xác suất$P(B)$hoặc số phần tử của B.
4. Tính xác suất đồng thời$P(A \ \cap B)$(hay số phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B).
5. Sử dụng công thức xác suất có điều kiện:$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$(nếu$P(B)>0$).
6. Kết luận.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hộp có 6 viên bi trắng và 4 viên bi đen. Rút ngẫu nhiên 2 viên bi cùng một lúc. Biết rằng đã rút được ít nhất 1 viên bi trắng, tính xác suất 2 viên bi cùng màu.

Giải chi tiết theo 6 bước chiến lược:

1. Xác định các sự kiện:
2. B: Rút được ít nhất 1 viên bi trắng
3. A: Hai viên cùng màu.
4. Tính số phần tử không gian mẫu:$\mathrm{C}_{10}^2 = 45$(chọn 2 viên bất kỳ từ 10 viên).
5. Tính$P(B)$:
6. Số trường hợp ít nhất 1 trắng$=$tổng số trừ số trường hợp toàn đen$= 45 - \mathrm{C}_4^2 = 45 - 6 = 39$.
7. $P(B) = \frac{39}{45}$
8. Tính$P(A \cap B)$:
9. Chú ý $A \cap B$là trường hợp: hai viên đều trắng (vừa cùng màu, vừa "ít nhất 1 trắng")$\rightarrow \mathrm{C}_6^2 = 15$trường hợp.
10. Hai viên đều đen thì không thỏa mãn "ít nhất 1 trắng", nên không tính.
11. $\Rightarrow P(A \cap B) = \frac{15}{45}$
12. Dùng công thức xác suất có điều kiện:
13. $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{15/45}{39/45} = \frac{15}{39} = \frac{5}{13}$.

Kết luận: Xác suất cần tìm là $\frac{5}{13}$.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức xác suất có điều kiện:$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$, với$P(B)>0$.
• Nếu biết số phần tử:$P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)}$(nếu các kết quả đều đồng khả năng xuất hiện).
• Công thức xác suất đồng thời:$P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) = P(B|A) \cdot P(A)$.
• Công thức xác suất toàn phần và định lý Bayes (đôi khi áp dụng trong bài toán biến thể):
  - Xác suất toàn phần: $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A | B_i)P(B_i)$
  - Bayes: $P(B_j|A) = \frac{P(A|B_j)P(B_j)}{\sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)}$

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

• Bài toán nhiều hơn 2 sự kiện: Áp dụng từng bước mở rộng, chú ý xác định các giao nhau, hợp nhau phù hợp.
• Bài toán về xác suất toàn phần, định lý Bayes: Phải chia nhỏ thành từng trường hợp$B_1, B_2, \ldots, B_n$.
• Bài toán với biến cố đối: Có thể quy đổi về các bài toán thường, hoặc tính bằng xác suất đối.
• Những bài toán mô phỏng, ứng dụng thực tiễn: Quan sát cách tạo không gian mẫu mới (sau khi biết điều kiện).

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài toán: Một lớp học có 5 bạn nam và 7 bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 bạn đi thi. Biết rằng trong 3 bạn đó có ít nhất 1 bạn nữ. Tính xác suất để có đúng 2 bạn nữ.

1. Gọi B: 3 bạn chọn có ít nhất 1 bạn nữ.
2. Gọi A: 3 bạn chọn có đúng 2 bạn nữ.
3. Không gian mẫu:$C_{12}^3 = 220$.
4. Số trường hợp ít nhất 1 nữ:$220 - C_5^3 = 220 - 10 = 210$.
5. Số trường hợp chọn đúng 2 nữ, 1 nam:$C_7^2 \times C_5^1 = 21 \times 5 = 105$.
6. Nhưng phải trừ đi số trường hợp cả 3 là nữ (không thỏa mãn A):$C_7^3 = 35$.
7. Số trường hợp chọn đúng 2 nữ, 1 nam và có ít nhất 1 nữ:$105$.
8. Vậy$P(B) = \frac{210}{220}$,$P(A \cap B) = \frac{105}{220}$.
9. Suy ra:$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{105/220}{210/220} = \frac{105}{210} = \frac{1}{2}$.

Kết luận: Xác suất cần tìm là $\frac{1}{2}$.

8. Bài tập thực hành tự luyện

• Một hộp có 3 quả cầu đỏ, 5 quả cầu xanh, 2 quả cầu vàng. Lấy ngẫu nhiên 3 quả, biết rằng trong số đó có ít nhất 1 quả cầu xanh, tính xác suất để đúng 2 quả màu xanh.
• Một bó hoa gồm 7 bông hồng và 5 bông cúc. Lấy ngẫu nhiên 4 bông, biết rằng trong số đó có ít nhất 2 bông hồng, tính xác suất trong 4 bông lấy có đủ cả 2 loại.
• Có 6 người, gồm 2 giáo viên, 4 học sinh. Chọn ngẫu nhiên 3 người lên bục giảng, biết rằng đã chọn được ít nhất 1 giáo viên. Tính xác suất chọn được đúng 1 giáo viên.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm thường gặp

• Luôn xác định rõ các sự kiện (A, B) trước khi đếm/trả lời.
• Chú ý chỉ đếm các trường hợp phù hợp với điều kiện (B) khi giải bài toán xác suất có điều kiện.
• Không nhầm lẫn toàn bộ không gian mẫu gốc với không gian mẫu sau khi biết điều kiện. Khi dùng công thức,$P(B)>0$.
• Đối với bài toán có điều kiện ngược (biết kết quả, tìm xác suất nguyên nhân) nên áp dụng xác suất Bayes.
• Soát lại kết quả bằng cách đối chiếu từng bước, viết rõ các trường hợp, tránh bỏ sót.

Chỉ cần bạn luyện tập chăm chỉ với phương pháp "cách giải bài toán tính xác suất có điều kiện" này, bạn sẽ làm chủ phần này một cách tự tin!