Chiến Lược Giải Bài Toán Tọa Độ của Vector Trong Không Gian Lớp 12

1. Giới thiệu chung về bài toán tọa độ của vector trong không gian

Bài toán xác định tọa độ của vector trong không gian là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán học lớp 12. Đây là phần nền tảng giúp học sinh tiếp cận các khái niệm, bài toán phức tạp hơn về hình học không gian, vectơ, mặt phẳng, đường thẳng,... Ngoài ra, các kỹ năng giải bài toán này còn được ứng dụng nhiều trong các đề thi THPT Quốc gia và trong nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật.

2. Đặc điểm của bài toán tọa độ vector trong không gian

Dạng toán này thường đưa ra các điểm có tọa độ trong không gian Oxyz và yêu cầu xác định tọa độ vector nối hai điểm hoặc tìm các đại lượng liên quan (độ dài, tích vô hướng, tích có hướng, điều kiện song song, vuông góc,...). Dấu hiệu nhận dạng:

• - Đề bài cung cấp tọa độ các điểm A, B, C,... trong không gian
• - Yêu cầu xác định tọa độ của vector, ví dụ:$\vec{AB}$,$\vec{BC}$,...
• - Liên quan đến các phép toán giữa các vector: cộng, trừ, nhân với số, tính độ dài, điều kiện song song, vuông góc,...

3. Chiến lược tổng thể để giải các bài toán dạng này

• 1. Đọc kỹ đề, xác định rõ các điểm có tọa độ đã biết và yêu cầu bài toán.
• 2. Vẽ hình minh họa (nếu cần) để dễ hình dung vị trí các điểm và vector.
• 3. Sử dụng công thức tính tọa độ vector, các phép toán vector trong không gian Oxyz.
• 4. Tính toán cẩn thận, ghi nhớ kiểm tra lại đáp số.

4. Các bước giải bài toán tọa độ vector trong không gian (có ví dụ cụ thể)

• Bước 1: Xác định các điểm A, B, C,... với tọa độ đã biết.
• Bước 2: Sử dụng công thức xác định tọa độ vectơ.
• Bước 3: Thực hiện các phép toán vector hoặc tính các đại lượng cần thiết (độ dài, tích vô hướng, tích có hướng,...)
• Bước 4: Trả lời kết quả theo yêu cầu đề bài.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• • Tọa độ vector$\vec{AB}$với$A(x_A, y_A, z_A)$,$B(x_B, y_B, z_B)$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; \, y_B - y_A; \, z_B - z_A)$

• • Độ dài vector$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

• • Tích vô hướng hai vector$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$,$\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$

• • Tích có hướng hai vector$\vec{a}, \vec{b}$:

• • Vector bằng nhau nếu và chỉ nếu các tọa độ tương ứng bằng nhau.

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

• - Xác định tọa độ vector nối hai điểm khi biết tọa độ hai điểm đó.
• - Tìm tọa độ điểm M biết$\vec{AM} = \vec{a}$và tọa độ A.
• - Xét điều kiện song song, vuông góc giữa hai vector thông qua tích vô hướng hoặc tích có hướng.
• - Tìm hình chiếu, biểu diễn vector qua các cơ sở khác nhau.

7. Ví dụ minh họa giải chi tiết từng bước

Ví dụ 1: Cho$A(1, 2, 3)$,$B(-1, 4, 0)$. Tìm tọa độ $\vec{AB}$và độ dài$AB$.

• Bước 1: Xác định tọa độ hai điểm:$A(1, 2, 3)$,$B(-1, 4, 0)$.
• Bước 2: Tính tọa độ vector$\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; \, y_B - y_A; \, z_B - z_A) = ( -1 - 1; 4 - 2; 0 - 3 ) = ( -2; 2; -3 )$

• Bước 3: Tính độ dài$AB$:

$AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 4 + 9} = \sqrt{17}$

Kết luận: Tọa độ $\vec{AB}$là $(-2; 2; -3)$, độ dài $AB = \sqrt{17}$.

8. Bài tập thực hành

• Bài 1: Cho$A(2, -1, 5)$,$B(0, 3, 2)$. Xác định tọa độ $\vec{BA}$.
• Bài 2: Cho$A(-2; 0; 4), M(1; 2; -1)$. Tìm tọa độ $\vec{MA}$và tính độ dài$MA$.
• Bài 3: Cho$A(1,0,1)$,$B(3,2,-1)$. Tìm tọa độ điểm M biết$\vec{AM} = 2\vec{AB}$.

9. Mẹo và lưu ý khi giải dạng bài này

• • Luôn ghi nhớ rằng$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$, tránh nhầm thứ tự.
• • Đọc kỹ yêu cầu đề bài, không nhầm giữa$\vec{AB}$và $\vec{BA}$(đổi dấu các thành phần vector).
• • Kiểm tra nháp tính toán cẩn thận để tránh sai số.
• • Nếu có thể, hãy vẽ hình minh họa để trực quan hóa các đại lượng.