Blog

Lớp 12

Chiến Lược Giải Bài Toán Tổng và Hiệu của Hai Vectơ – Hướng Dẫn Chi Tiết Cho Lớp 12

T
Tác giả
•
•8 phút đọc
Chia sẻ:
8 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán tổng và hiệu của hai vectơ

Bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ là một phần cơ sở quan trọng trong chương trình toán học lớp 12. Đây là những khái niệm nền tảng để học sinh tiếp tục với các chủ đề sâu hơn về hình học giải tích, vật lý, và ứng dụng trong thực tế. Việc thành thạo các kĩ năng giải loại bài toán này giúp học sinh phát triển tư duy hình học, khả năng tưởng tượng không gian và xử lý các tình huống thực tiễn.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán tổng và hiệu hai vectơ

  • Bài toán thường hỏi về:
  • - Tổng, hiệu của hai vectơ trong hệ toạ độ hoặc trên mặt phẳng
  • - Tìm toạ độ vectơ tổng hoặc vectơ hiệu, tính độ dài (modul) hoặc xác định góc giữa các vectơ
  • - Ứng dụng tổng, hiệu vectơ trong bài toán hình học phẳng, không gian

    • Đặc điểm:
    - Bài toán sử dụng nhiều tính chất cộng, trừ vectơ và hình học giải tích
    - Thường kèm theo yêu cầu biểu diễn hình học hoặc giải bài toán thực tế
    - Đôi khi phải vận dụng tính chất trung điểm, hình bình hành,...

    3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

  • Đọc kỹ yêu cầu bài toán: Nhận biết đề yêu cầu gì—tìm toạ độ, tính độ lớn, tìm góc hay dựng hình?
  • Vẽ hình minh hoạ lên hệ trục toạ độ hoặc trong không gian (nếu cần)
  • Xác định toạ độ các vectơ liên quan
  • Áp dụng các công thức tổng, hiệu, modul, tích vô hướng tuỳ từng mục tiêu
  • Kiểm tra tính hợp lý và kết luận

    • 4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh hoạ

    Ví dụ 1: Cho hai vectơ a⃗=(2;3)\vec{a} = (2; 3)và b⃗=(4;−1)\vec{b} = (4; -1). Tìm tổnga⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b}và hiệua⃗−b⃗\vec{a} - \vec{b}. Tính độ dài hai vectơ này.

  • Bước 1: Ghi nhận toạ độ các vectơ:
    a⃗=(2,3)\vec{a} = (2, 3),b⃗=(4,−1)\vec{b} = (4, -1)
  • Bước 2: Tính tổng và hiệu:
    • a⃗+b⃗=(2+4,3+(−1))=(6,2)\vec{a} + \vec{b} = (2 + 4, 3 + (-1)) = (6, 2)
    a⃗−b⃗=(2−4,3−(−1))=(−2,4)\vec{a} - \vec{b} = (2 - 4, 3 - (-1)) = (-2, 4)
    • Bước 3: Tính độ dài các vectơ:
    ∣<br>(6,2)∣=62+22=36+4=40=210|<br>(6, 2)| = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36+4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}
    ∣(−2,4)∣=(−2)2+42=4+16=20=25|(-2, 4)| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}

    Kết luận: Tổng là (6,2),(6,2),hiệu là (−2,4),(-2,4),lần lượt độ dài là 2102\sqrt{10}và 252\sqrt{5}.

    5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • - Toạ độ tổng hai vectơ:a⃗=(x1,y1)\vec{a} = (x_1, y_1),b⃗=(x2,y2)⇒a⃗+b⃗=(x1+x2,y1+y2)\vec{b} = (x_2, y_2) \Rightarrow \vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)
  • - Toạ độ hiệu hai vectơ:a⃗−b⃗=(x1−x2,y1−y2)\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)
  • - Modul (độ dài): ∣u⃗∣=x2+y2|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2}
  • - Công thức vectơ tổng bằng quy tắc hình bình hành hoặc hình học (nếu cần vẽ hình)

    • 6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

    • - Dạng nâng cao: Tổng/hiệu trong không gian (R3\mathbb{R}^3)
      - Ứng dụng: Tìm toạ độ điểm M biếtAM⃗=a⃗+2b⃗\vec{AM} = \vec{a} + 2\vec{b}
      - Dạng bài toán có tham số, liên quan đến diện tích tam giác, trung điểm, trọng tâm,...

    Chú ý cần xác định rõ yêu cầu, vẽ hình nếu cần và linh hoạt sử dụng các phép toán vector, công thức hình học liên quan.

    7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

    Bài tập mẫu: ChoA(1,2)A(1,2),B(3,−1)B(3,-1),C(0,4)C(0,4)trên mặt phẳng toạ độ. Tính:
    (a)AB⃗+AC⃗\vec{AB} + \vec{AC}
    (b) Tìm toạ độ điểmDDsao choAD⃗=AB⃗+AC⃗\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{AC}
    (c) Tính độ dàiAB⃗\vec{AB}và AC⃗\vec{AC}.

  • Bước 1: Xác định toạ độ các vectơ:
    AB⃗=(3−1,−1−2)=(2,−3)\vec{AB} = (3-1, -1-2) = (2, -3),
    AC⃗=(0−1,4−2)=(−1,2)\vec{AC} = (0-1, 4-2) = (-1, 2)
  • Bước 2: Tính tổng:
    AB⃗+AC⃗=(2+(−1),−3+2)=(1,−1)\vec{AB} + \vec{AC} = (2 + (-1), -3 + 2) = (1, -1)
  • Bước 3: Toạ độ AD=(1,−1)⇒AD = (1,-1) \Rightarrowtoạ độ D=(Ax+1,Ay−1)=(2,1)D = (A_x + 1, A_y -1) = (2, 1)
  • Bước 4: Độ dài:
    ∣AB⃗∣=22+(−3)2=4+9=13|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4+9}=\sqrt{13}
    ∣AC⃗∣=(−1)2+22=1+4=5|\vec{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}

    • Kết quả:
    (a) AB⃗+AC⃗=(1,−1)\vec{AB} + \vec{AC} = (1, -1)
    (b) D(2,1)D(2,1)
    (c) ∣AB⃗∣=13|\vec{AB}| = \sqrt{13}, ∣AC⃗∣=5|\vec{AC}| = \sqrt{5}

    8. Bài tập thực hành

  • 1. Chou⃗=(5,2)\vec{u} = (5, 2),v⃗=(−2,7)\vec{v} = (-2, 7). Tìmu⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v},u⃗−v⃗\vec{u} - \vec{v}và modul của mỗi vectơ.
  • 2. ChoM(2,5)M(2, 5),N(1,1)N(1, 1),P(−3,4)P(-3, 4): TínhMN⃗+NP⃗\vec{MN} + \vec{NP}. Tìm điểmQQsao choMQ⃗=MN⃗+NP⃗\vec{MQ} = \vec{MN} + \vec{NP}.
  • 3. Trong không gian, choa⃗=(1,−2,3)\vec{a} = (1, -2, 3),b⃗=(2,1,−1)\vec{b} = (2, 1, -1). Tìma⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b},a⃗−b⃗\vec{a} - \vec{b}, và modul mỗi vectơ.
  • 4. ChoO(0,0),A(3,4),B(−1,2)O(0,0), A(3,4), B(-1,2), tínhOA⃗+OB⃗\vec{OA} + \vec{OB}và xác định toạ độ điểmCCsao choOC⃗=OA⃗+OB⃗\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB}.

    • 9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

  • - Luôn xác định đúng thứ tự phép trừ vectơ:a⃗−b⃗<br>eb⃗−a⃗\vec{a} - \vec{b} <br>e \vec{b} - \vec{a}.
  • - Tính modul cần bình phương cả giá trị âm.
  • - Khi tính tổng, hiệu vectơ đại số chỉ cộng trừ từng thành phần tương ứng.
  • - Vẽ hình để trực quan, đặc biệt khi bài toán yêu cầu dựng hình hay xác định vị trí hình học.
  • - Kiểm tra lại đáp án bằng cách thay số ngược lại vào đề, đặc biệt với các bài dẫn đến toạ độ điểm mới.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".