Blog

Lớp 12

Chiến lược giải bài toán Tổng và hiệu của hai vectơ lớp 12: Hướng dẫn chi tiết và luyện tập miễn phí

T
Tác giả
•
•6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu về dạng bài toán Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ là một phần quan trọng trong chương trình Hình học lớp 12, xuất hiện thường xuyên trong các đề thi và kiểm tra học kì, cũng như đề thi THPT Quốc gia. Đặc điểm chính là yêu cầu học sinh vận dụng các định nghĩa, tính chất và quy tắc của phép cộng, trừ vectơ để giải quyết các bài toán cụ thể trong không gian. Làm chủ dạng toán này giúp học sinh vững chắc kiến thức Toán 12 và phát triển kỹ năng hình học không gian, tăng cơ hội giành điểm tối đa trong các bài thi. Đặc biệt, bạn có thể luyện tập miễn phí với hơn 42.226+ bài tập cập nhật mới mỗi ngày ngay tại cuối bài viết.

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

• Dấu hiệu: Đề bài sử dụng các từ khóa như “tính tổng hai vectơ”, “hiệu hai vectơ”, “biểu diễn vectơ C = A + B”, “xác định độ dài của vectơ A - B”,... Thường cho trước toạ độ hoặc biểu diễn hình học vectơ.

• Phân biệt: Dạng bài này khác với bài toán về tích vô hướng, tích có hướng ở chỗ chỉ yêu cầu cộng hoặc trừ hai vectơ, không yêu cầu nhân hoặc tìm góc giữa chúng.

2.2 Kiến thức cần thiết

- Công thức tổng, hiệu:extbfa+extbfb=(a1+b1, a2+b2, a3+b3)extbf{a} + extbf{b} = (a_1 + b_1,\, a_2 + b_2,\, a_3 + b_3),extbfa−extbfb=(a1−b1, a2−b2, a3−b3)extbf{a} - extbf{b} = (a_1 - b_1,\, a_2 - b_2,\, a_3 - b_3)(với toạ độ).

- Thuộc tính: Phép cộng, trừ hai vectơ tuân theo quy tắc hình bình hành, quy tắc tam giác, tính chất giao hoán và kết hợp.

- Kiến thức liên quan: Toạ độ vectơ, khoảng cách, tích vô hướng, biểu diễn hình học vectơ trong không gian.

3. Chiến lược giải quyết tổng thể

3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

• Đọc kỹ dữ kiện cho: toạ độ các điểm, biểu diễn vectơ, yêu cầu tính tổng, hiệu hoặc độ dài kết quả.

• Xác định yêu cầu: Cần tính toạ độ, độ dài, hoặc biểu diễn hình học vectơ tổng/hiệu.

3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

• Chọn công thức: Ưu tiên phép cộng/trừ toạ độ nếu đề cho toạ độ. Với hình học, vẽ hình hỗ trợ hình dung.

• Xác định trình tự: Giải quyết từng vectơ, kiểm tra bước trung gian, dự đoán kết quả có hợp lý không.

3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

• Tính toán theo thứ tự, ghi rõ bước và công thức.

• Đối chiếu kết quả với dự đoán.

4. Các phương pháp giải chi tiết

4.1 Phương pháp cơ bản

• Sử dụng trực tiếp công thức toạ độ để tính cộng hoặc trừ từng thành phần của vectơ.

• Phù hợp khi đề cho toạ độ cụ thể, dễ kiểm tra chính xác.

• Hạn chế: Tính rườm rà với bài hình học không gian phức tạp hơn.

4.2 Phương pháp nâng cao

• Áp dụng quy tắc hình bình hành, tam giác để biểu diễn tổng, hiệu vectơ trên hình vẽ.

• Lưu ý các mẹo chuyển đổi dạng toạ độ sang hình học, kết hợp các thuộc tính hình không gian để tối ưu tính toán.

• Nhớ: Dùng ký hiệu mũi tên trên vectơ để phân biệt, ghi rõ từng phép toán.

5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

5.1 Bài tập cơ bản

Đề bài: Cho hai vectơ extbfa=(2;−1;3)extbf{a} = (2; -1; 3),extbfb=(1;5;−2)extbf{b} = (1; 5; -2). Tính:

  • a)extbfa+extbfbextbf{a} + extbf{b}
  • b)extbfa−extbfbextbf{a} - extbf{b}

    • Lời giải chi tiết:

  • a)extbfa+extbfb=(2+1;−1+5;3+(−2))=(3;4;1)extbf{a} + extbf{b} = (2+1; -1+5; 3+(-2)) = (3; 4; 1).
  • b)extbfa−extbfb=(2−1;−1−5;3−(−2))=(1;−6;5)extbf{a} - extbf{b} = (2-1; -1-5; 3-(-2)) = (1; -6; 5).

    • Giải thích: Đúng trình tự, cộng/trừ từng thành phần toạ độ ứng với quy tắc phép cộng trừ vectơ.

    5.2 Bài tập nâng cao

    Đề bài: Trong không gianOxyzOxyz, choA(1;2;3)A(1;2;3),B(4;6;5)B(4;6;5),C(2;3;7)C(2;3;7). Tính:

  • a)extbfAB+extbfACextbf{AB} + extbf{AC}
  • b) Độ dài vectơ extbfAB−extbfACextbf{AB} - extbf{AC}

    • Lời giải chi tiết:

  • a)extbfAB=(4−1;6−2;5−3)=(3;4;2)extbf{AB} = (4-1; 6-2; 5-3) = (3;4;2);extbfAC=(2−1;3−2;7−3)=(1;1;4)extbf{AC} = (2-1; 3-2; 7-3) = (1;1;4)
  • extbfAB+extbfAC=(3+1;4+1;2+4)=(4;5;6)extbf{AB} + extbf{AC} = (3+1; 4+1; 2+4) = (4;5;6)
  • b)extbfAB−extbfAC=(3−1;4−1;2−4)=(2;3;−2)extbf{AB} - extbf{AC} = (3-1; 4-1; 2-4) = (2;3;-2)
  • Độ dài: ∣extbfAB−extbfAC∣=22+32+(−2)2=4+9+4=17|extbf{AB} - extbf{AC}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+9+4} = \sqrt{17}

    • So sánh: Có nhiều cách giải, có thể tìm toạ độ trước hoặc cộng/trừ thẳng các giá trị khác nhau; ưu tiên cách tối ưu nhanh nhất cho bài trắc nghiệm.

    6. Các biến thể thường gặp

    - Yêu cầu biểu diễn tổng/hiệu vectơ bằng các điểm hình học (tìm điểm M sao choOM→=OA→+OB→\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}).

    - Kết hợp với tìm góc, khoảng cách, tích vô hướng sau khi cộng/trừ.

    - Xử lý nhanh: Triển khai toạ độ trước, xác định biến đổi hình học hiệu quả.

    7. Lỗi phổ biến và cách tránh

    7.1 Lỗi về phương pháp

    • Lẫn lộn thứ tự trừ các vectơ, quên đổi dấu khi trừ.

    • Áp dụng nhầm công thức tích vô hướng/thể tích.

    • Cách khắc phục: Viết rõ quy trình, kiểm tra từng bước.

    7.2 Lỗi về tính toán

    • Tính nhầm số, làm tròn thiếu chính xác.

    • Quên ghi đáp số theo yêu cầu đề.

    • Luôn kiểm tra lại từng phép cộng, trừ toạ độ; so sánh kết quả với dự đoán ban đầu.

    8. Luyện tập miễn phí ngay

    Truy cập 42.226+ bài tập cách giải Tổng và hiệu của hai vectơ miễn phí, luyện tập không giới hạn, không cần đăng ký tài khoản. Theo dõi tiến độ làm bài và cải thiện kỹ năng giải toán từng ngày.

    9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

    - Chia ôn tập thành tuần, mỗi tuần luyện 20-30 bài, ưu tiên các dạng tổng/hiệu toạ độ, bài hình vẽ, bài nâng cao.

    - Đặt mục tiêu: Thuần thục phương pháp cơ bản trong 1 tuần, nắm mẹo nâng cao sau 2 tuần, thường xuyên kiểm tra lại các lỗi hay mắc.

    - Đánh giá tiến độ qua số bài đúng, tốc độ hoàn thành và khả năng nhận biết nhanh đề bài.

    Chúc bạn thành công trên hành trình làm chủ toán vectơ lớp 12!

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".