Chiến lược giải bài toán ứng dụng cực trị trong bài toán tối ưu lớp 12: Hướng dẫn chi tiết và bài tập minh họa

1. Giới thiệu về bài toán ứng dụng cực trị trong bài toán tối ưu

Bài toán ứng dụng cực trị trong bài toán tối ưu là một trong những chủ đề quan trọng nhất của Toán lớp 12. Đây là dạng toán thường xuyên xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia và các kỳ kiểm tra lớn. Dạng bài này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm, bảng biến thiên, điều kiện xác định và các kỹ năng lập luận logic để tối ưu hóa một đại lượng (tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số, tối ưu hoá hình học, chi phí, diện tích, thể tích…).

Tầm quan trọng của việc nắm vững cách giải bài toán ứng dụng cực trị trong bài toán tối ưu là giúp học sinh nâng cao khả năng tư duy, phân tích và áp dụng kiến thức toán học vào thực tiễn, đồng thời đạt điểm số cao trong các kỳ thi quan trọng.

2. Đặc điểm của bài toán ứng dụng cực trị trong bài toán tối ưu

• Có yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một đại lượng (diện tích, chiều dài, giá tiêu thụ, lợi nhuận,…)
• Thường gắn với một tình huống thực tế (tạo hình hộp, xây dựng hàng rào, tối ưu hoá chi phí, đường đi ngắn nhất, …)
• Biến số bị ràng buộc bởi các điều kiện (điều kiện thực tế, điều kiện xác định toán học)
• Sử dụng thành thạo đạo hàm, bảng biến thiên để tìm cực trị của hàm số một biến

3. Chiến lược tổng thể để giải quyết bài toán

• Phân tích bài toán: Xác định đại lượng tối ưu (biến mục tiêu) và các điều kiện cho trước.
• Thiết lập mối quan hệ: Biểu diễn đại lượng cần tối ưu hoá thành hàm số một biến.
• Tìm điều kiện xác định: Xác định miền giá trị mà biến nhận được dựa trên bài toán thực tế.
• Sử dụng đạo hàm để tìm điểm cực trị: Giải phương trình đạo hàm bậc nhất (f'(x)=0), điều kiện bờ, kiểm tra tính cực trị trên toàn miền xác định.
• Kết luận: Đối chiếu với điều kiện bài toán, kết luận giá trị cực trị phù hợp nhất.

4. Các bước giải quyết chi tiết (có ví dụ minh họa)

Bước 1: Xác định đại lượng cần tối ưu và các điều kiện

Ví dụ: Cho một đoạn dây dài 20m, hãy tạo thành một hình chữ nhật sao cho diện tích lớn nhất. Tính các cạnh của hình chữ nhật đó.

Bước 2: Gọi ẩn và thiết lập quan hệ

Gọi chiều dài là $x$, chiều rộng là $y$.Khi đó, chu vi hình chữ nhật là $2x + 2y = 20 \Rightarrow x + y = 10$. Diện tích$S = xy$.

Bước 3: Biểu diễn S dưới dạng một biến

Từ $x + y = 10 \Rightarrow y = 10 - x$

Khi đó:$S = x(10-x) = 10x - x^2$với$0 < x < 10$.

Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số S(x) trên đoạn (0,10)

Tính đạo hàm:$S'(x) = 10 - 2x$

Cho$S'(x) = 0 \Rightarrow 10 - 2x = 0 \Rightarrow x = 5$

Khi đó $y = 10 - 5 = 5$

Bước 5: Kết luận

• Kiểm tra tại các giá trị biên:$x \to 0$,$x \to 10$thì $S \to 0$
• Vậy diện tích lớn nhất khi$x=y=5$(hình vuông),$S_{max}=25$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức đạo hàm:$f'(x)$, điều kiện cực trị $f'(x)=0$
• Phương pháp biến đổi điều kiện ràng buộc thành hàm một biến
• Phương pháp kiểm tra biên (Endpoint test) khi biến số thuộc đoạn đóng
• Sử dụng bảng biến thiên để xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất rõ ràng
• Nhớ cách xét dấu đạo hàm

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• Tối ưu hóa có ràng buộc: Thường gặp bài toán nhiều điều kiện, cần sử dụng kỹ thuật thay biến phụ
• Tối ưu trên miền mở, nửa mở: Có thể phát sinh các giá trị biên nên phải xét giới hạn biến
• Tối ưu hóa hình học: Có thể phải áp dụng định lý hình học (Pytago, diện tích tam giác, thể tích hình chóp…) kèm các bước truyền thống
• Tối ưu hóa hai biến: Có thể kết hợp thêm phương pháp Lagrange hoặc xét từng biến phụ thuộc nhau

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài toán: Tìm chiều cao$h$của hình trụ có thể tích lớn nhất được tạo thành từ một tấm tôn hình chữ nhật có chiều dài$20m$, chiều rộng$8m$, biết rằng mặt đáy và mặt nắp là 2 hình tròn cắt ra từ tấm tôn.

• Gọi$r$là bán kính đáy hình trụ,$h$là chiều cao. Hai đáy và mặt nắp là hai hình tròn, tổng diện tích hai hình tròn là $2\pi r^2$, diện tích xung quanh là $2\pi r h$.
• Tổng diện tích dùng là $2\pi r^2 + 2\pi r h = 8 \times 20 = 160$.
• Ta có:$2\pi r^2 + 2\pi r h = 160 \Rightarrow h = \frac{160 - 2\pi r^2}{2\pi r}$.
• Thể tích$V = \pi r^2 h = \pi r^2 \left( \frac{160 - 2\pi r^2}{2\pi r} \right) = \frac{\pi r (160 - 2\pi r^2)}{2}$.
• Tìm $V' = 0$với$0 < r < \sqrt{\frac{80}{\pi}}$.
• $V'(r)= \frac{\pi}{2}(160 - 6\pi r^2)$
• Giải $V'(r)=0 \Rightarrow 160 - 6\pi r^2 = 0 \Rightarrow r^2=\frac{160}{6\pi} \Rightarrow r=\sqrt{\frac{80}{3\pi}}$
• Tính $h$: $h= \frac{160 - 2\pi r^2}{2\pi r} = \frac{160 - 2\pi \cdot \frac{80}{3\pi}}{2\pi \sqrt{\frac{80}{3\pi}}}=\frac{160 - \frac{160}{3}}{2\pi \sqrt{\frac{80}{3\pi}}} = \frac{320}{3 \cdot 2\pi\sqrt{\frac{80}{3\pi}}}$

Vậy bán kính $r=\sqrt{\frac{80}{3\pi}}$, chiều cao $h=\frac{320}{6\pi\sqrt{\frac{80}{3\pi}}}$ cho thể tích lớn nhất.

8. Bài tập thực hành

• Bài 1: Một hình chữ nhật có chu vi bằng 24cm. Tìm chiều dài và chiều rộng để diện tích hình chữ nhật lớn nhất.
• Bài 2: Một tấm bìa hình chữ nhật kích thước$30 \times 16$cm. Người ta cắt bốn góc nhỏ hình vuông bằng nhau rồi gập lên được một hình hộp không nắp. Xác định cạnh hình vuông cắt đi để thể tích hộp lớn nhất.
• Bài 3: Cho tam giác vuông tại$A$, có cạnh$AB = 6$cm,$AC = 8$cm. Tìm điểm$M$trên cạnh$BC$sao cho tổng$AM + BM$nhỏ nhất.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm

• Luôn kiểm tra lại điều kiện bài toán (kiểm tra miền xác định của biến)
• Không quên xét các giá trị biên, nhất là khi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn
• Cẩn thận khi biến đổi điều kiện, tránh thiếu sót hoặc biến không hợp lệ
• Chú ý ý nghĩa thực tế: Không nhận các giá trị về mặt đại số nhưng không phù hợp lượt thực tế (như cạnh âm, chiều dài vượt quá giới hạn…)
• Sử dụng bảng biến thiên kết hợp kiểm tra các điểm đặc biệt (nếu có nhiều nghiệm đạo hàm)
• Luôn trình bày rõ ràng, lý luận từng bước để tránh mất điểm ở các bước thiết lập và biện luận

Kết luận

Hy vọng với hướng dẫn cách giải bài toán ứng dụng cực trị trong bài toán tối ưu trên, các bạn học sinh lớp 12 sẽ nắm được quy trình cơ bản, các công thức cần nhớ và vận dụng thành thạo trong luyện thi cũng như bài tập thực hành. Đừng quên luyện tập thường xuyên để thật vững vàng nhé!