Blog

Chiến lược giải bài toán Ứng dụng tính đơn điệu vào bài toán thực tế lớp 12

T
Tác giả
6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán ứng dụng tính đơn điệu vào thực tế

Các bài toán ứng dụng tính đơn điệu (tăng, giảm) của hàm số vào giải quyết các bài toán thực tế thường xuất hiện rất nhiều trong chương trình Toán lớp 12, đặc biệt trong phần khảo sát hàm số và tối ưu hóa. Bằng cách sử dụng đạo hàm để xác định tính đơn điệu, học sinh có thể tìm được giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một đại lượng trong điều kiện ràng buộc thực tế (như hình học, vận tốc, chi phí, lợi nhuận...). Đây là kiến thức nền tảng, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi THPT quốc gia và là kỹ năng không thể thiếu trong Toán ứng dụng.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán ứng dụng tính đơn điệu

Đặc trưng cơ bản của dạng toán này gồm:

  • Có một đại lượng (thường là hàmy=f(x)y = f(x)) phụ thuộc vào biếnxx, trong đó xxbị giới hạn bởi các điều kiện thực tế.
  • Cần xác định giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất (GTLN/GTNN) của đại lượng này trong miền xác định củaxx.
  • Thường sử dụng các kiến thức về tính đơn điệu (tăng, giảm), cực trị của hàm số đã học.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để giải quyết tốt các bài toán dạng này, nên thực hiện theo quy trình:

  1. Xác định đại lượng cần tối ưu hóa (tìm GTLN/GTNN), biểu diễn đại lượng này dưới dạng hàm số một biến duy nhất.
  2. Tìm miền xác định của biến, dựa trên điều kiện bài toán.
  3. Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên để khảo sát tính đơn điệu, xác định cực trị.
  4. So sánh các giá trị tại điểm nội dung và tại biên miền xác định để tìm GTLN, GTNN.
  5. Kết luận, trả lời đúng yêu cầu bài toán.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ minh họa:

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 20m. Hỏi diện tích lớn nhất mà mảnh đất có thể đạt được và kích thước khi đó là bao nhiêu?

  1. Bước 1: Gọi các kích thước hình chữ nhật là xxyy(m).
  2. Bước 2: Theo điều kiện chu vi:2x+2y=20x+y=10y=10x2x + 2y = 20 \Rightarrow x + y = 10 \Rightarrow y = 10 - x.
  3. Bước 3: Diện tíchS=xy=x(10x)=10xx2S = x \cdot y = x \cdot (10 - x) = 10x - x^2.
  4. Bước 4: Miền xác định:0<x<100 < x < 10(vì hai cạnh > 0).
  5. Bước 5: Tính đạo hàmS(x)=102xS'(x) = 10 - 2x. GiảiS(x)=0x=5S'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 5.
  6. Bước 6: Xét các giá trị x=5x = 5,x0+x \to 0^+,x10x \to 10^-.\

    - Vớix=5x = 5,S=5×5=25S = 5 \times 5 = 25(m2^2)\
    - Vớix0+x \to 0^+,S0S \to 0\
    - Vớix10x \to 10^-,S0S \to 0\

    Vậy diện tích lớn nhất là 2525(m2^2) khix=y=5x = y = 5.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • Công thức tính đạo hàm: Nếuf(x)f(x)là hàm số cần tìm GTLN, GTNN, tínhf(x)f'(x) để xác định điểm cực trị.
  • Điều kiện cực trị:f(x)=0f'(x) = 0hoặcf(x)f'(x)không xác định.
  • So sánh giá trị tại các điểm biên và các điểm cực trị trong miền xác định để chọn GTLN, GTNN.
  • Sử dụng đạo hàm để lập bảng biến thiên.

6. Biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

  • Hàm số nhiều biến: Đưa về hàm một biến bằng cách liên hệ các điều kiện giữa các biến.
  • Ràng buộc phức tạp: Có thể phải lập hệ phương trình phụ thuộc giữa các biến và giải trước khi tối ưu.
  • Biến là tham số: Áp dụng nguyên lý tương tự, nhưng kiểm tra kĩ miền xác định.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết từng bước

Bài toán:
Một tấm tôn hình chữ nhật có chiều rộng 10m, chiều dài 20m. Người ta cắt ở mỗi góc một hình vuông có cạnh bằng nhau, rồi gấp các mép lên để tạo thành một thùng không nắp. Tìm kích thước hình vuông được cắt để thể tích thùng lớn nhất.

  1. Gọi cạnh hình vuông cắt đi là xx(m), điều kiện0<x<50 < x < 5.
  2. Kích thước đáy sau khi gập:daˋi:202xdài: 20-2x,rng:102xrộng: 10-2x, chiều cao:xx.
  3. Thể tích:V=x(202x)(102x)=x(20040x20x+4x2)=x(20060x+4x2)V = x(20-2x)(10-2x) = x(200-40x-20x+4x^2) = x(200-60x+4x^2).
  4. Phát triểnV=200x60x2+4x3V = 200x - 60x^2 + 4x^3.
  5. Tính đạo hàm:V(x)=200120x+12x2V'(x) = 200 - 120x + 12x^2.
  6. Giải phương trình V(x)=0V'(x) = 0: 200120x+12x2=012x2120x+200=0200 - 120x + 12x^2 = 0 \Rightarrow 12x^2 - 120x + 200 = 0 \
    x210x+503=0\Rightarrow x^2 - 10x + \frac{50}{3} = 0 \
    x=10±10020032\Rightarrow x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - \frac{200}{3}}}{2}.
  7. Tìm các giá trị và chọn giá trị xxthuộc(0;5)(0;5)thỏa mãn choVVlớn nhất.

Kết luận: Giá trị xxphù hợp là khoảngx2.13x \approx 2.13(làm tròn 2 chữ số thập phân). Khi đó, thể tích thùng là lớn nhất.

8. Bài tập luyện tập

  • Bài 1: Một tấm bìa hình chữ nhật có kích thước12×812 \times 8(cm). Cắt đi ở mỗi góc một hình vuông rồi gấp thành hộp không nắp. Xác định kích thước hình vuông để hộp có thể tích lớn nhất.
  • Bài 2: Cho dây dài2020(cm). Dùng dây này để làm khung một hình chữ nhật. Tìm chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật để diện tích lớn nhất.
  • Bài 3: Một hình nón có bán kính đáy là rr(cm), chiều caohh(cm), biết tổng thể tích và diện tích xung quanh cố định. Chứng minh khi nào thể tích lớn nhất?

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm thường gặp

  • Cẩn thận xác định đúng miền xác định cho biến.
  • Khi đạo hàm ra nhiều nghiệm, kiểm tra tất cả các giá trị này và các giá trị biên.
  • Biến đổi hàm nhiều biến về hàm một biến bằng các điều kiện phụ.
  • Không quên đơn vị tính.
  • Nên trình bày rõ ràng, cẩn thận từng bước; lưu ý vẽ hình minh họa nếu có.
T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".