Blog

Chiến lược giải bài toán vận dụng biểu thức tọa độ để giải bài toán thực tiễn lớp 12

T
Tác giả
7 phút đọc
Chia sẻ:
7 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán vận dụng biểu thức tọa độ trong thực tiễn

Các bài toán vận dụng biểu thức tọa độ trong thực tiễn là những bài toán lấy các tình huống thực tế – chẳng hạn đo đạc, thiết kế, xác định vị trí, khoảng cách, diện tích, góc trong không gian – và chuyển chúng về ngôn ngữ toán học sử dụng hệ tọa độ để giải quyết. Đây là dạng bài quan trọng trong chương trình Toán lớp 12, hỗ trợ phát triển khả năng vận dụng linh hoạt kiến thức hình học giải tích vào cuộc sống thực tiễn cũng như các môn kỹ thuật, công nghệ.

2. Đặc điểm của bài toán vận dụng biểu thức tọa độ trong thực tế

Một số đặc điểm thường thấy của dạng bài này là:

  • Có dữ liệu gắn với thực tiễn (tọa độ thực, các đại lượng vật lý, tình huống thực).
  • Yêu cầu chuyển đổi từ bài toán thực về bài toán hình học/toán học trên mặt phẳng hoặc không gian.
  • Sử dụng các công thức tọa độ: khoảng cách, diện tích, góc, phương trình đường thẳng/mặt phẳng, điểm, vectơ...
  • Đáp án thường là một kết luận có ý nghĩa thực tiễn (địa điểm, khoảng cách, diện tích,...).

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận dạng bài toán này

Để giải quyết hiệu quả dạng bài này, bạn nên áp dụng chiến lược gồm các bước như sau:

  1. Phân tích tình huống thực tiễn, xác định dữ kiện cần thiết và nhu cầu bài toán.
  2. Mô hình hóa toán học: Chuyển các đại lượng, vị trí thành các điểm/vectơ/toạ độ phù hợp trong hệ toạ độ (Oxy hoặc Oxyz).
  3. Áp dụng các công thức/toạ độ để giải quyết bài toán: tìm khoảng cách, phương trình, giao điểm, góc, diện tích tuỳ đề.
  4. Kết luận, liên hệ lại với bài toán thực tế, trả lời đúng câu hỏi thực tiễn đặt ra.

4. Các bước giải quyết chi tiết kèm ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Một nhà máy đặt tạiA(2,0)A(2,0), một bãi chứa vật liệu tạiB(6,4)B(6,4). Hỏi vị trí CCtrên đường thẳngy=0y=0(trục hoành) sao cho tổng khoảng cáchAC+CBAC+CBnhỏ nhất. (Bài toán xây đường ống dẫn vật liệu tối ưu).

  1. Phân tích bài toán: Đây là bài toán tìm đường đi ngắn nhất từ AA đếnBBmà phải đi qua 1 điểmCCtrên trục hoành.
  2. Mô hình hoá: GọiC(x,0)C(x,0)là điểm cần xác định trên trụcy=0y=0. Ta cần biểu diễn tổng khoảng cáchAC+CBAC+CB.
  3. Biểu thức tổng khoảng cách:


    AC=(x2)2+(00)2=x2AC = \sqrt{(x-2)^2 + (0-0)^2} = |x-2|

    CB=(6x)2+(40)2=(6x)2+16CB = \sqrt{(6-x)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{(6-x)^2 + 16}

    Tổng AC+CB=x2+(6x)2+16AC + CB = |x-2| + \sqrt{(6-x)^2 + 16}.
  4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)=x2+(6x)2+16f(x) = |x-2| + \sqrt{(6-x)^2 + 16}vớixRx \in \mathbb{R}.
  5. Để tổng khoảng cách nhỏ nhất, lấy đối xứng điểmBBqua trụcy=0y=0\rightarrowB(6,4)B'(6, -4). Đường thẳngABAB'cắty=0y=0tại điểmCCcần tìm.
    Lập phương trình:

    Đường đi từ AA đếnBB':
    x262=y040x24=y4\frac{x-2}{6-2} = \frac{y-0}{-4-0} \Rightarrow \frac{x-2}{4} = \frac{y}{-4}

    y=0y=0\:–>x24=0x=2\frac{x-2}{4}=0 \Rightarrow x=2

    VậyCCcó toạ độ (2,0)(2,0)(chính là vị trí AA).
  6. Kết luận: Vị trí trên trụcy=0y=0giúp tổng khoảng cách ngắn nhất chính là vị trí A(2,0)A(2,0).

Tóm lại các bước cần nhớ: mô hình hoá, thiết lập biểu thức bằng toạ độ, tối ưu/giải phương trình, phân tích lại kết quả.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • Khoảng cách giữa hai điểm A(x1,y1)A(x_1,y_1), B(x2,y2)B(x_2,y_2):
    AB=(x2x1)2+(y2y1)2AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}
  • Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm:
    xx1x2x1=yy1y2y1\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1}
  • Khoảng cách từ điểm M(x0,y0)M(x_0, y_0) đến đường thẳngax+by+c=0ax + by + c = 0:
    d=ax0+by0+ca2+b2d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}
  • Diện tích tam giácABCABC:
    S=12x1(y2y3)+x2(y3y1)+x3(y1y2)S = \frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|
  • Công thức tích vô hướng (tìm góc giữa hai vectơ):
    cosθ=abab\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Một số biến thể thường gặp:

  • Tìm vị trí tối ưu trong không gian (hệ toạ độ OxyzOxyz)
  • Tính chiều dài đường dây, đường ống, khoảng cách ngắn nhất hoặc quỹ tích điểm thoả điều kiện về thực tiễn.
  • Thiết lập chương trình tuyến tính cho các bài toán tối ưu sử dụng toạ độ.
  • Tìm điểm giao, khoảng cách giữa các đối tượng đã cho vị trí cụ thể trong hệ toạ độ.

Tùy theo đề bài cần chuyển đổi kỹ năng toán học: dựng phương trình mặt phẳng/đường thẳng/quỹ tích, giải hệ phương trình, sử dụng đạo hàm tối ưu, hoặc hình học không gian.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập: Từ hai điểmA(1,2)A(1,2)B(5,4)B(5,4), cần xây một nhà khoCCtrên đường thẳngx+y=6x+y=6sao cho tổng khoảng cáchAC+BCAC + BCnhỏ nhất. Xác định toạ độ CC.

  1. Mô hình hoá: Gọi C(a,b)C(a, b)thuộcx+y=6b=6ax + y = 6 \Rightarrow b = 6 - a. Tổng khoảng cách AC+BC=(a1)2+(6a2)2+(a5)2+(6a4)2AC+BC = \sqrt{(a-1)^2 + (6-a-2)^2} + \sqrt{(a-5)^2 + (6-a-4)^2}.
  2. Phân tích đối xứng: Phản chiếuBBqua đườngx+y=6x+y=6.

    Phương trìnhx+y=6x+y=6có vectơ pháp tuyến(1,1)(1,1). Tìm toạ độ ảnhB(x,y)B'(x', y'):

    Tínht=(1)(5)+(1)(4)612+12=962=1.5t = \frac{(1)(5)+(1)(4)-6}{1^2+1^2} = \frac{9-6}{2}=1.5
    B(x,y)=(52<em>1.5,42</em>1.5)=(53,43)=(2,1)\rightarrow B'(x', y') = (5-2 <em>1.5, 4-2</em>1.5) = (5-3, 4-3) = (2,1)
  3. Đường thẳngABAB':

    x121=y212\frac{x-1}{2-1} = \frac{y-2}{1-2}

    x1=(y2)x1=y+2x+y=3x-1 = -(y-2) \rightarrow x-1 = -y+2 \rightarrow x+y=3.

    Cắt đườngx+y=6x+y=6tạiCC:

    x+y=3,x+y=6\rightarrow x+y=3, x+y=6 \rightarrowkhông cắt. Nếu đườngABAB'song song với đườngx+y=6x+y=6, phải xem lại cách giải.
  4. Thử xây dựng hàm tổng khoảng cách f(a)=(a1)2+((6a)2)2+(a5)2+((6a)4)2f(a) = \sqrt{(a-1)^2 + ((6-a)-2)^2} + \sqrt{(a-5)^2 + ((6-a)-4)^2}, đạo hàm theo aarồi giảif(a)=0f'(a)=0.
  5. Hoặc sử dụng hình học đối xứng, đường đi tối ưu chính là từ AA đếnBB', cắtx+y=6x+y=6tạiCC.

    ĐườngAB:x121=y212AB': \frac{x-1}{2-1} = \frac{y-2}{1-2}\rightarrowx1=(y2)x-1 = -(y-2)\rightarrowx+y=3x+y=3.

    CClà giao điểm củax+y=6x+y=6và đường thẳng vuông góc đi qua trung điểmMMcủaABAB'.

    M(1+22,2+12)=(1.5,1.5)M(\frac{1+2}{2}, \frac{2+1}{2}) = (1.5, 1.5), phương trình vuông gócxy=dx-y = d.

    Lập hệ:
    x+y=6x+y=6,xy=dx-y=d.
    Giải rax=6+d2,y=6d2x= \frac{6+d}{2}, y = \frac{6-d}{2}. Tìmddsao choCCgầnAAnhất.
  6. Ở cách nhanh, ta thay thử một số giá trị aavớib=6ab=6-ađể tối tiểu hoáAC+BCAC+BCbằng bảng. (Hoặc dùng đạo hàm xác định nghiệm).

Học sinh tự thực hành thêm để nắm vững phương pháp mô hình, giải quyết và kiểm tra nghiệm.

8. Bài tập thực hành

  • Bài 1: Cho hai điểmA(3,2)A(3,2),B(7,5)B(7,5). Hỏi nên đặt trạm cứu hộ CC ở đâu trên trục tungx=0x=0sao cho tổng quãng đườngAC+CBAC+CBlà nhỏ nhất?
  • Bài 2: Trong mặt phẳngOxyOxy, hãy xác định vị trí điểmMMtrên đường thẳngy=2x+1y=2x+1sao cho tổngAM+BMAM+BMvớiA(1,3)A(1,3)B(4,7)B(4,7)là nhỏ nhất.
  • Bài 3: Một người đi từ A(0,0)A(0,0)tớiB(8,6)B(8,6), nhưng phải qua một trạm kiểm soátCCtrên đườngx=5x=5. Xác định vị trí CC để quãng đường đi là ngắn nhất.
  • Bài 4: Tính diện tích tam giác tạo bởi ba điểmA(1,2)A(1,2),B(4,6)B(4,6),C(7,2)C(7,2)trên mặt phẳng toạ độ.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

  • Luôn xác định đúng hệ trục toạ độ, chính xác vị trí điểm.
  • Đơn vị thực tế phải nhất quán (mét, kilômét...).
  • Khi bài toán có điều kiện ràng buộc điểm thuộc đường thẳng/phẳng, luôn kiểm tra điều kiện lại sau khi tìm nghiệm.
  • Dùng phương pháp đối xứng để rút ngắn thời gian giải các bài toán về đường đi ngắn nhất.
  • Chú ý khi sử dụng căn bậc hai: Không quên dấu giá trị tuyệt đối và điều kiện số học.
  • Trình bày bài giải phải logic, rõ ràng từng bước.

Luyện tập nhiều và xem lại các ví dụ mẫu sẽ giúp bạn thành thạo "cách giải bài toán vận dụng biểu thức toạ độ để giải bài toán thực tiễn" trong mọi tình huống thi cử và thực tế.

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".