Chiến lược giải bài toán: Vị trí tương đối của hai đường thẳng (Toán lớp 12)
T
Tác giả
•
•6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc
1. Giới thiệu về bài toán vị trí tương đối của hai đường thẳng
Bài toán xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian là một nội dung quan trọng đối với học sinh lớp 12, đặc biệt nằm trong chương phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu. Bài toán này không chỉ xuất hiện nhiều trong các đề kiểm tra, đề thi tốt nghiệp THPT mà còn giúp các bạn hình dung rõ về không gian 3 chiều, phát triển tư duy hình học không gian và rèn luyện khả năng vận dụng linh hoạt kiến thức đại số vào hình học.
2. Đặc điểm nhận diện và phân loại bài toán
Thường gặp hai dạng cần xác định vị trí tương đối:
Cho phương trình (tham số hoặc chính tắc) của hai đường thẳngd1,d2. Yêu cầu xác định vị trí tương đối: //trùng nhau, song song, cắt nhau, chéo nhau//.
Chứng minh hoặc tìm điều kiện để hai đường thẳng có vị trí tương đối mong muốn (cắt nhau, song song, ...).
3. Chiến lược tổng thể giải bài toán
Xác định dạng phương trình đường thẳng: tham số, chính tắc hoặc dạng khác.
Tìm véctơ chỉ phương của hai đường thẳng:u1,u2.
Lấy một điểm thuộc từng đường thẳng:A1thuộcd1,A2thuộcd2.
Tiến hành so sánh véctơ chỉ phương để xét song song hoặc trùng nhau.
Nếu không song song, giải hệ để kiểm tra xem hai đường có giao nhau không.
Nếu không giao nhau thì hai đường là chéo nhau.
4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa
Giả sử cho hai đường thẳngd1và d2trong không gian với phương trình tham số:
d1:⎩⎨⎧x=1+2ty=−1+tz=2−t(t∈R)
d2:⎩⎨⎧x=2+3sy=1+2sz=1+s(s∈R)
Bước 1. Xác định véctơ chỉ phươngu1=(2,1,−1);u2=(3,2,1).
Bước 2. Kiểm tra song song hoặc trùng nhau: So sánhu1và u2, nếu chúng cùng phương thì hai đường song song hoặc trùng nhau.
Ở ví dụ này: Các thành phần tương ứng củau1và u2không tỉ lệ, nên hai đường không song song, không trùng nhau.
Bước 3. Kiểm tra cắt nhau bằng cách giải hệ:
Tìm xem tồn tạit,ssao cho:
⎩⎨⎧1+2t=2+3s−1+t=1+2s2−t=1+s
Giải hệ ta được:
Từ phương trình thứ nhất:1+2t=2+3s⇔2t−3s=1
Từ phương trình thứ hai:−1+t=1+2s⇔t−2s=2
Từ phương trình thứ ba:2−t=1+s⇔−t−s=−1⇔t+s=1
Giải hệ ba phương trình ba ẩn này, bạn sẽ thấy vô nghiệm. Vậy hai đường chéo nhau.
5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ
Phương trình tham số của đường thẳng:
⎩⎨⎧x=x0+aty=y0+btz=z0+ct
Véctơ chỉ phương:u=(a,b,c)
Hai đường thẳng cùng phương⇔∃k=0sao chou1=ku2
Nếu song song nhưng không trùng, kiểm tra điểm nằm trên hai đường thẳng.
Giải hệ phương trình để kiểm tra giao điểm.
Công thức tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:
d=∣u1×u2∣∣AM⋅(u1×u2)∣, vớiA∈d1,M∈d2.
6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược
Dạng 1: Hai đường thẳng dạng tham số (truyền thống). Xử lý như ở trên.
Dạng 2: Một hoặc hai đường ở dạng chính tắc: Đưa về dạng tham số và làm giống các bước trên.
Dạng 3: Phù hợp tìm điều kiện để hai đường cắt nhau, đi qua một điểm, ...: Đặt giả thiết rồi giải hệ tham số có nghiệm.
Gặp bài tìm góc giữa hai đường: Sử dụng công thức góc giữa 2 véctơ chỉ phương.
Thay vào hai phương trình còn lại: 2s-(1-s)=1 \rightarrow 2s-1+s=1 \rightarrow 3s=2 \rightarrow s=2/3 ; t=1-2/3=1/3
Kiểm tra nghiệm thỏa mãn phương trình thứ hai: -s-2t=3 \rightarrow -2/3 - 2*1/3 = -2/3 - 2/3 = -4/3 eq 3. Nên hệ vô nghiệm => hai đường chéo nhau.
8. Bài tập thực hành
Hãy xác định vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a)d1:1x=2y−2=3z;d2:x=1+2t,y=2+t,z=3−2t
b)d1:x=2−t,y=1+2t,z=3t;d2:x=2s,y=1−s,z=2+s
c)d1:2x−3=1y+1=−2z;d2:x=2+s,y=4−s,z=1+2s
9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến
Luôn đổi về cùng dạng phương trình (tham số hoặc chính tắc) để xử lý giản tiện.
Khi giải hệ phương trình cần rà soát lại tránh sai số.
Đừng nhầm lẫn song song và chéo nhau! Phải kết luận sau khi kiểm tra véctơ chỉ phương và kết quả hệ giao điểm.
Hãy nhớ hai đường cùng phương và có điểm chung thì trùng nhau.
Các bước nên trình bày rõ ràng, khoa học để được điểm tối đa trong bài thi.
Tổng kết chiến lược giải bài toán 'vị trí tương đối của hai đường thẳng'
Việc nắm chắc các phương pháp trên sẽ giúp bạn làm chủ dạng toán này, giải quyết hiệu quả các bài tập từ cơ bản đến nâng cao, và nâng điểm số trong các kỳ thi. Hãy luyện tập nhiều để thành thạo, đừng quên vận dụng linh hoạt kiến thức để mở rộng giải quyết các bài toán biến thể!
Đăng ký danh sách email của chúng tôi và nhận những mẹo độc quyền, tin tức và ưu đãi đặc biệt được gửi thẳng đến hộp thư đến của bạn.
Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".
Theo dõi chúng tôi tại