1. Giới thiệu về bài toán vị trí tương đối của hai đường thẳng và ý nghĩa thực tiễn

Bài toán về vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian là một trong những nội dung trọng tâm của chương trình Toán lớp 12 – phần Hình học không gian. Việc nắm chắc cách giải giúp học sinh không chỉ thành thạo bài thi mà còn phát triển tư duy suy luận không gian và kỹ năng vận dụng kiến thức vào các tình huống thực tiễn, như thiết kế, xây dựng, mô hình hóa các công trình thực tế.

2. Đặc điểm bài toán vị trí tương đối của hai đường thẳng

Hai đường thẳng trong không gian có ba vị trí tương đối:

• Cắt nhau: Có đúng một điểm chung.
• Song song: Không có điểm chung và cùng nằm trong một mặt phẳng.
• Chéo nhau: Không có điểm chung và không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Khi làm dạng bài này, đề thường cho hai đường thẳng dưới dạng tham số. Việc xác định hai đường thẳng như thế nào đòi hỏi phải xét từng tiêu chí, tránh nhầm lẫn giữa các trường hợp.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán

Chiến lược giải quyết bài toán nên theo trình tự các bước sau:

1. Bước 1: Viết hai đường thẳng dưới dạng tham số rõ ràng, xác định véc-tơ chỉ phương và điểm đi qua mỗi đường.
2. Bước 2: Xét sự song song của hai véc-tơ chỉ phương.
3. Bước 3: Nếu không song song, giải hệ phương trình để tìm điểm chung.
4. Bước 4: Nếu vô nghiệm, kết luận hai đường chéo nhau. Nếu tìm được nghiệm, xác định điểm chung và vị trí cắt nhau.

Chiến lược này giúp bạn dễ dàng hệ thống hóa và tránh bỏ sót các trường hợp có thể xảy ra.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

a) Dạng tổng quát của đường thẳng trong không gian

Một đường thẳng d được cho bởi:

Với$\vec{u}_d = (a, b, c)$là véc-tơ chỉ phương,$A(x_0, y_0, z_0)$là điểm đi qua đường thẳng d.

b) Xác định véc-tơ chỉ phương, véc-tơ nối điểm

Cho hai đường thẳng:

$d_1: \frac{x - x_1}{a_1} = \frac{y - y_1}{b_1} = \frac{z - z_1}{c_1} \quad; \quad d_2: \frac{x - x_2}{a_2} = \frac{y - y_2}{b_2} = \frac{z - z_2}{c_2}$

Véc-tơ chỉ phương:$\vec{u}_1 = (a_1, b_1, c_1)$,$\vec{u}_2 = (a_2, b_2, c_2)$. Véc-tơ nối hai điểm:$\vec{A_1A_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$

c) Phương pháp xét vị trí tương đối cụ thể

1. A. Hai đường song song hoặc trùng nhau:
2. $\vec{u}_1$và $\vec{u}_2$ cùng phương$\Rightarrow \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$(nếu các tỷ số xác định). Nếu véc-tơ nối hai điểm$\vec{A_1A_2}$cùng phương với các véc-tơ chỉ phương, hai đường trùng nhau; còn không thì song song.
3. B. Hai đường cắt nhau:
4. $\vec{u}_1$và $\vec{u}_2$ không cùng phương. Lập hệ phương trình để tìm các tham số để hai đường có điểm giao nhau. Nếu hệ có nghiệm, hai đường cắt nhau tại điểm đó.
5. C. Hai đường chéo nhau:
6. $\vec{u}_1$và $\vec{u}_2$ không cùng phương và hệ phương trình tìm điểm giao vô nghiệm, hai đường chéo nhau.

d) Ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ: Cho hai đường thẳng trong không gian:

Bước 1: Xác định véc-tơ chỉ phương: -$\vec{u}_1 = (1, -1, 2)$-$\vec{u}_2 = (2, 1, 3)$

Bước 2: Xét sự song song:
So sánh tỷ số:
$\frac{1}{2} \ne \frac{-1}{1} \ne \frac{2}{3} \Rightarrow$hai véc-tơ không cùng phương, không song song.

Bước 3: Thiết lập hệ để tìm điểm giao nhau:

Giải hệ:
- Từ pt 1:$t - 2s = 1$(1)$<br />- Từ pt 2:$-t - s = -1 \Leftrightarrow t + s = 1$(2)$

Cộng (1) và (2):
$t - 2s + t + s = 1 + 1 \Rightarrow 2t - s = 2 \Rightarrow s = 2t - 2$
Thế vào (2):
t + (2t - 2) = 1$\Rightarrow 3t = 3 \Rightarrow t = 1$
$\Rightarrow s = 2 \cdot 1 - 2 = 0$

Thế vào pt 3 thử lại:
$3 + 2t = 1 + 3s \Rightarrow 3 + 2 \cdot 1 = 1 + 3 \cdot 0 \Rightarrow 5 = 1$(sai)
=> hệ vô nghiệm

Kết luận: Hai đường chéo nhau.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Cùng phương:$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$(với các tỷ số xác định).
• Giao điểm: Giải hệ phương trình lấy tham số từ đường này bằng tham số từ đường kia.
• Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:
  $d = \frac{| (\vec{A_1A_2}, \vec{u}_1, \vec{u}_2) |}{\| \vec{u}_1 \times \vec{u}_2 \|}$
  Trong đó,$(\vec{A_1A_2}, \vec{u}_1, \vec{u}_2)$là tích hỗn tạp.
• Nếu hai đường song song, tính khoảng cách từ một điểm thuộc d1 đến d2.
• Nên đổi sang dạng tham số để tiện tính toán.

6. Các biến thể và cách điều chỉnh chiến lược

1. Hai đường thẳng cho dưới hai dạng khác nhau (tham số, vector, chính tắc, ...): Nên đổi về dạng tham số.
2. Yêu cầu tìm giao điểm, khoảng cách, tạo mặt phẳng chứa đường, hoặc xác định m để hai đường cắt nhau: Áp dụng song song các bước trên, tập trung loại trừ và đối chiếu điều kiện nghiệm.
3. Các bài có tham số tự do m, n: Đổi về tham số, giải thêm điều kiện về m, n cho phù hợp yêu cầu bài.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập
Cho hai đường thẳng:
$d_1: \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{-2} = \frac{z - 3}{1}$
$d_2: \frac{x + 1}{3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 4}{-1}$

Lời giải:

Viết dạng tham số:
$d_1$:

$d_2$:

Véc-tơ chỉ phương:
$\vec{u}_1 = (1, -2, 1)\vec{u}_2 = (3, 1, -1)$Kiểm tra cùng phương:$\frac{1}{3} \ne \frac{-2}{1} \ne \frac{1}{-1}o$Hai đường không cùng phương.

Thiết lập hệ phương trình tìm điểm cắt:

Từ pt 1:$t - 3s = -3$(1)$<br />pt 2:$-2t - s = 3$(2)$
pt 3:$t + s = 1$(3)$

Từ (3):$s = 1 - t$.
Thế vào (1):
t - 3(1 - t) = -3
$t - 3 + 3t = -3$
$4t = 0 ightarrow t = 0$
$ightarrow s = 1$.

Thế vào (2):
$-2(0) - 1 = 3 ightarrow -1 = 3$(sai)
=> Hệ vô nghiệm

Kết luận: Hai đường chéo nhau.

8. Bài tập tự luyện

a) Xác định vị trí tương đối của hai đường:
$d_1: \frac{x+1}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z}{1}$
$d_2: \frac{x-2}{-1} = \frac{y}{2} = \frac{z-1}{3}$b) Cho các tham số$m$, hãy tìm$m$ để hai đường sau cắt nhau:
$d_1: \frac{x-1}{m} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z}{3}$
$d_2: \frac{x+2}{3} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z-4}{2}$

(Học sinh giải tương tự mẫu trên, thử các trường hợp song song/cắt nhau, giải hệ tham số xem tồn tại nghiệm với$m$nào.)

9. Mẹo và lưu ý khi ôn tập, làm bài

• Luôn viết hai đường về dạng tham số với rõ véc-tơ chỉ phương.
• Cẩn thận khi so sánh tỷ số véc-tơ chỉ phương (đừng chia cho$0$).
• Không nhầm giữa hai đường song song và chéo nhau (chú ý kiểm tra đồng phẳng bằng tích có hướng).
• Ghi nhớ công thức tích hỗn tạp, tích có hướng — tự luyện tính nhanh.
• Khi giải hệ, đừng quên thử lại vào cả ba phương trình.
• Chăm luyện tập các bài có tham số $m, n$ để thành thạo kỹ năng loại trừ.
• Vẽ phác hình với các giá trị đơn giản để hình dung vị trí tương đối rõ ràng hơn.

Hy vọng bài viết giúp các bạn nắm vững cách giải bài toán vị trí tương đối của hai đường thẳng – một dạng bài quan trọng trong ôn thi và kiểm tra lớp 12. Các bạn nên luyện thêm nhiều bài tập tự luyện, đọc kỹ từng bước giải, và ghi nhớ các công thức, mẹo quan trọng để đạt điểm tối đa với dạng bài này!