Cách giải bài toán viết phương trình tham số và chính tắc...

1. Giới thiệu về bài toán và tầm quan trọng

Khi học hình học không gian lớp 12, một trong những kiến thức trọng tâm là "Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng". Đây là chuyên đề nền tảng giúp học sinh không chỉ hiểu bản chất toán học về vị trí – phương vị của các đối tượng trong không gian mà còn làm cơ sở cho các bài toán tương tác giữa đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu. Nắm vững cách giải bài toán này giúp học sinh tự tin xử lý các dạng bài tập vận dụng, mở rộng và các bài kiểm tra, thi tốt nghiệp THPT Quốc gia.

2. Đặc điểm của bài toán viết phương trình đường thẳng

Có nhiều dạng dữ liệu: cho qua hai điểm, cho điểm và véctơ chỉ phương, cho điểm và song song (hoặc vuông góc) với đường/mặt phẳng khác.

Sử dụng các dữ kiện hình học để xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương.

Có thể yêu cầu viết phương trình dạng tham số hoặc chính tắc.

Điều quan trọng là xác định đúng dạng phương trình cần viết, hiểu rõ mối liên hệ giữa điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán

Xác định rõ dạng yêu cầu (tham số hay chính tắc).

Tìm điểm

A(x_0, y_0, z_0)

mà đường thẳng đi qua.

Xác định véctơ chỉ phương

\vec{u} = (a, b, c)

của đường thẳng (bằng dữ kiện hình học hoặc đại số).

Lắp vào mẫu phương trình tham số hoặc chính tắc.

Kiểm tra lại các điều kiện bài toán yêu cầu.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

A. Viết phương trình tham số của đường thẳng

Một đường thẳng đi qua điểm $A(x_0, y_0, z_0)$ và có véctơ chỉ phương $\vec{u} = (a, b, c)$ . Phương trình tham số:

\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})

B. Ví dụ minh họa dạng tham số

Bài toán: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm $A(1, 0, -1)$ và $B(2, 4, 3)$ .

Tìm véctơ chỉ phương:

\vec{u} = \overrightarrow{AB} = (2-1, 4-0, 3-(-1)) = (1, 4, 4)

Chọn điểm đi qua là

A(1, 0, -1)

Lập phương trình tham số:

\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 0 + 4t \\ z = -1 + 4t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})

C. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng

Giả sử đường thẳng đi qua $A(x_0, y_0, z_0)$ , có véctơ chỉ phương $\vec{u} = (a, b, c)$ (cả ba thành phần khác 0). Phương trình chính tắc:

\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c} $$\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$$

D. Ví dụ minh họa dạng chính tắc

Từ ví dụ trên, với điểm $A(1, 0, -1)$ và véctơ chỉ phương $\vec{u}=(1,4,4)$ , phương trình chính tắc là:

\frac{x-1}{1} = \frac{y-0}{4} = \frac{z+1}{4} $$\frac{x-1}{1} = \frac{y-0}{4} = \frac{z+1}{4}$$

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

Công thức phương trình tham số:

\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}

Công thức phương trình chính tắc (nếu cả ba thành phần $a, b, c$ đều khác $0$ ):

\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c} $$\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$$

Nếu một hoặc hai thành phần của

\vec{u}

bằng

0

thì bỏ ẩn tương ứng ra khỏi hệ.

Tìm véctơ chỉ phương dựa vào hai điểm:

\vec{u} = (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

Cho điểm đi qua và véctơ chỉ phương

\rightarrow

Viết phương trình trực tiếp.

Cho hai điểm

\rightarrow

Tìm véctơ chỉ phương, chọn một điểm, viết phương trình.

Cho đường thẳng đi qua điểm

A

và song song (hoặc vuông góc) với đường/mặt phẳng khác

\rightarrow

Tìm véctơ chỉ phương qua điều kiện song song/vuông góc.

Nếu đường thẳng nằm trong mặt phẳng nào đó

\rightarrow

Kết hợp điều kiện mặt phẳng để xác định.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài 1: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng đi qua điểm $A(2, -1, 1)$ và song song với đường thẳng

\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -2 + 3t \\ z = 5 - t \end{cases}

Giải
- Véctơ chỉ phương của đường đã cho là $(2, 3, -1)$ .
- Đường thẳng đi qua $A(2, -1, 1)$ , cùng chỉ phương.

Phương trình tham số:

\begin{cases} x = 2 + 2t \\ y = -1 + 3t \\ z = 1 - t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})

Phương trình chính tắc:

\frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-1}{-1} $$\frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-1}{-1}$$

Bài 2: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm $A(1,2,3)$ , $B(5,-1,6)$ .

Véctơ chỉ phương

\overrightarrow{AB} = (5-1, -1-2, 6-3) = (4, -3, 3)

Phương trình tham số:

\begin{cases} x = 1 + 4t \\ y = 2 - 3t \\ z = 3 + 3t \end{cases}

Phương trình chính tắc:

\frac{x-1}{4} = \frac{y-2}{-3} = \frac{z-3}{3} $$\frac{x-1}{4} = \frac{y-2}{-3} = \frac{z-3}{3}$$

8. Bài tập tự luyện

Bài 1: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng đi qua điểm $C(0, 2, -3)$ và có véctơ chỉ phương $\vec{u} = (1, 3, -2)$ .

Bài 2: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm $M(2, 1, 0)$ , $N(-1, 5, 4)$ .

Bài 3: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng đi qua điểm $P(0, -1, 2)$ , song song với đường thẳng $\frac{x+2}{3} = \frac{y}{-2} = z$ .

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

Chú ý xác định đúng véctơ chỉ phương, tránh nhầm dấu khi lấy hiệu tọa độ hai điểm.

Khi một thành phần của véctơ chỉ phương bằng

0

, loại bỏ thành phần đó khỏi phương trình chính tắc (không chia cho

0

Đảm bảo chọn đúng điểm đi qua – thường chọn điểm nào dữ liệu cụ thể và dễ tính toán nhất.

Thường xuyên kiểm tra lại đáp án bằng cách thay ngược tọa độ đã chọn vào phương trình cuối cùng.

Nên phân biệt rõ khi nào dùng dạng tham số và khi nào dùng dạng chính tắc (dạng tham số linh hoạt, dạng chính tắc dễ kiểm tra đường thẳng song song, đồng quy, ...).

Blog

Chiến Lược Giải Bài Toán Viết Phương Trình Tham Số và Chính Tắc của Đường Thẳng – Hướng Dẫn Toàn Diện Lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán và tầm quan trọng

2. Đặc điểm của bài toán viết phương trình đường thẳng

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

A. Viết phương trình tham số của đường thẳng

B. Ví dụ minh họa dạng tham số

C. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng

D. Ví dụ minh họa dạng chính tắc

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

8. Bài tập tự luyện

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

Danh mục:

Thẻ:

Tác giả

Liên hệ

Pháp lý

Blog

1. Giới thiệu về bài toán và tầm quan trọng

2. Đặc điểm của bài toán viết phương trình đường thẳng

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

A. Viết phương trình tham số của đường thẳng

B. Ví dụ minh họa dạng tham số

C. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng

D. Ví dụ minh họa dạng chính tắc

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

8. Bài tập tự luyện

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

Danh mục:

Thẻ:

Tác giả

Liên hệ

Pháp lý

Theo dõi chúng tôi tại

Nhận thông tin mới nhất về chúng tôi