Chiến lược giải bài toán viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng lớp 12

Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng là dạng bài cơ bản và đóng vai trò quan trọng trong hình học không gian lớp 12. Dạng toán này giúp học sinh tư duy hình học tốt hơn và là công cụ nền tảng để giải các bài toán phức tạp hơn như tìm giao điểm, vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng, v.v... Đặc biệt, đây là chủ đề trọng tâm thường xuyên xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia.

2. Đặc điểm nhận dạng và dạng toán cơ bản

Các bài toán yêu cầu viết phương trình tham số hoặc chính tắc của đường thẳng thường cho:

• Một điểm đi qua đường thẳng và một vectơ chỉ phương hoặc hai điểm thuộc đường thẳng (lập từ hai điểm này).
• Hoặc cho song song/cắt/mối liên hệ với các đối tượng khác (mặt phẳng, vector, v.v...) và yêu cầu xác định tham số, chính tắc của đường thẳng.

Dạng bài thường gặp nhất là:

• Cho hai điểm$A, B$thuộc đường thẳng hoặc
• Cho điểm$A$và vectơ chỉ phương của đường thẳng.

3. Chiến lược tổng thể để giải quyết dạng toán này

• Bước 1: Phân tích đề bài – xác định 1 điểm$A$(hoặc lấy$A$từ hai điểm cho trước), và xác định vectơ chỉ phương$\overrightarrow{u}$.
• Bước 2: Viết phương trình tham số tổng quát bằng cách dùng điểm$A(x_0, y_0, z_0)$và vectơ chỉ phương$\overrightarrow{u}(a, b, c)$.
• Bước 3: Rút phương trình chính tắc từ phương trình tham số (nếu vectơ chỉ phương khác$0$).
• Kiểm tra điều kiện đặc biệt để chọn công thức phù hợp (chú ý các trường hợp$a$,$b$,$c$bằng$0$).

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai điểm$A(1;-2;3)$và $B(4;1;0)$. Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng đi qua$A$và $B$.

• Bước 3: Viết phương trình chính tắc:

$\frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{3} = \frac{z-3}{-3}$

Lưu ý: Nếu 1 thành phần vectơ chỉ phương bằng 0, phương trình chính tắc sẽ bị khuyết 1 phần tử.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức phương trình tham số của đường thẳng qua$A(x_0, y_0, z_0)$và có vectơ chỉ phương$\overrightarrow{u} = (a, b, c)$:
• $$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \\\end{cases} (t \in \mathbb{R})$$
• Công thức phương trình chính tắc khi$a$,$b$,$c$ đều khác$0$:
• $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$
• Nếu một thành phần của vectơ chỉ phương là $0$, ví dụ $c=0$, thì bỏ phần$z$trong phương trình chính tắc và ghi$z=z_0$.

6. Các biến thể và điều chỉnh chiến lược

- Chỉ cho một điểm đi qua và song song/khác/thuộc mặt phẳng: Phải tìm thêm vectơ chỉ phương từ điều kiện khác.
- Cho đường thẳng với dạng khác: Cần chuyển đổi sang tham số hoặc chính tắc rồi tìm đủ dữ kiện.
- Yêu cầu chứng minh hay tìm điểm thỏa mãn: Lồng ghép vào kỹ thuật cơ bản, đôi khi phải giải thêm phương trình/hệ phương trình đơn giản.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết từng bước

Bài tập: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng đi qua điểm$M(2;-1;4)$, song song với vectơ $\overrightarrow{u} = (1;2;-3)$.

• Bước 3: Viết phương trình chính tắc:

$\frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-4}{-3}$

8. Bài tập thực hành tự luyện

a) Cho hai điểm$A(1;2;-3)$và $B(4;0;2)$. Hãy viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng đi qua$A, B$.
b) Viết phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng đi qua$C(-2; 3; 5)$và có vectơ chỉ phương$(0; -1; 2)$.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Xác định đúng hướng vectơ chỉ phương (chính xác từng thành phần).
• Kiểm tra điểm đi qua và vectơ chỉ phương có thuộc đường thẳng cần tìm không.
• Chú ý đổi dấu đúng khi rút từ tham số sang chính tắc.
• Nếu thành phần của vectơ chỉ phương bằng$0$, phương trình chính tắc sẽ bị khuyết phần ấy.
• Cuối cùng, luôn kiểm tra lại đáp án bằng cách thay điểm vào phương trình vừa viết.