Blog

Lớp 12

Chiến lược giải bài toán xác định tiệm cận đứng hàm số lớp 12: Hướng dẫn chi tiết, ví dụ minh họa và bài tập luyện tập

T
Tác giả
•
•9 phút đọc
Chia sẻ:
9 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán xác định tiệm cận đứng và tầm quan trọng

Bài toán xác định tiệm cận đứng là một dạng cơ bản nhưng rất quan trọng trong chương trình Giải tích lớp 12. Việc hiểu và thành thạo chiến lược giải các bài toán này sẽ giúp học sinh dễ dàng xử lý các dạng hàm số phức tạp, chuẩn bị tốt cho các kỳ thi quan trọng như thi THPT Quốc gia. Tiệm cận đứng cũng có vai trò lớn trong việc vẽ đồ thị và phân tích đặc điểm của hàm số.

2. Đặc điểm của bài toán xác định tiệm cận đứng

Tiệm cận đứng thường xuất hiện với các hàm phân thức hữu tỉ, hàm căn thức, đặc biệt là khi mẫu số hoặc biểu thức dưới căn tiến tới 0 làm cho giá trị hàm số tiến ra vô cực. Về mặt trực quan, tiệm cận đứng là “đường thẳng đứng” mà đồ thị hàm số đến gần nhưng không chạm đến khixxtiến đến một giá trị xác định.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán xác định tiệm cận đứng

Để xác định tiệm cận đứng của một hàm số y=f(x)y = f(x), học sinh cần:

  • - Xác định các điểm mà tại đó hàm số không xác định (thường là làm mẫu số bằng 0 hoặc biểu thức dưới căn bậc chẵn nhỏ hơn 0).
  • - Xét giới hạn trái và phải củaf(x)f(x)tại điểm đó: Nếu một trong hai giới hạno+ext∞o +ext{∞}hoặc−ext∞-ext{∞}thì đường thẳngx=ax = alà tiệm cận đứng.
  • - Loại trừ các điểm rời rạc hoặc có thể khử được (ví dụ: phân thức rút gọn hết mẫu).

    • 4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Xác định tiệm cận đứng của hàm số y=1x−2y = \frac{1}{x-2}.

    • Bước 1: Tìm các điểm làm mẫu số bằng 0.

    Giải:x−2=0  ⟹  x=2x-2=0 \implies x=2

    • Bước 2: Xét giới hạn củaf(x)f(x)khixxtiến tới 2 từ hai phía:

    lim⁡x→2−1x−2=−∞\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x-2} = -\infty

    lim⁡x→2+1x−2=+∞\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x-2} = +\infty

    • Bước 3: Kết luận: Đường thẳngx=2x=2là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

    Ví dụ 2: Xác định tiệm cận đứng củay=x+3(x−1)(x+2)y=\frac{x+3}{(x-1)(x+2)}

  • Mẫu số bằng 0 khix=1x=1hoặcx=−2x=-2
  • Xét từng điểm:
  • -lim⁡x→1−x+3(x−1)(x+2)=−∞\lim_{x \to 1^-} \frac{x+3}{(x-1)(x+2)} = -\infty;lim⁡x→1+=+∞\lim_{x \to 1^+} = +\infty
  • -lim⁡x→−2−=+∞\lim_{x \to -2^-} = +\infty,lim⁡x→−2+=−∞\lim_{x \to -2^+} = -\infty
  • Vậyx=1x=1và x=−2x=-2là hai tiệm cận đứng.

    • 5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ khi xác định tiệm cận đứng

  • - Hàm phân thứcy=P(x)Q(x)y=\frac{P(x)}{Q(x)}có tiệm cận đứng tại các nghiệm củaQ(x)=0Q(x)=0, với điều kiện tương ứngP(x)P(x)không đồng thời bằng 0 tại đó (nếu cùng triệt tiêu, hãy rút gọn).
  • - Hàm căn thức y=1f(x)y=\frac{1}{\sqrt{f(x)}}hoặcy=1g(x)y=\frac{1}{g(x)}vớig(x)g(x) bậc chẵn cần xét cả điều kiện xác định và giới hạn.
  • - Nếulim⁡x→aext+hoặc−f(x)=+∞\lim_{x \to a^ext{+ hoặc -}} f(x) = +\inftyhoặc−∞-\inftythì x=ax=alà tiệm cận đứng.
  • - Đối với hàm phân thức rút gọn, cần rút gọn trước khi tìm tiệm cận đứng để tránh bỏ sót các trường hợp khử hết tử và mẫu.

    • 6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

  • a) Phân thức có tử và mẫu đồng thời bằng 0 tại cùng điểm: Rút gọn phân thức, tìm nghiệm mới của mẫu.
  • b) Hàm chứa căn bậc chẵn: Tìm các giá trị làm biểu thức dưới căn bằng 0, xét điều kiện xác định và giới hạn hai phía.
  • c) Hàm chứa logarit: Xét các điểm làm biểu thức trong log bằng 0 hoặc âm.

    • 7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết theo các bước

    Bài tập: Xác định tiệm cận đứng của hàm số y=2x−1x2−5x+6y = \frac{2x-1}{x^2 - 5x + 6}.

  • Bước 1: Giảix2−5x+6=0  ⟹  x=2x^2-5x+6=0 \implies x=2hoặcx=3x=3
  • Bước 2: Kiểm tra tử số tại các điểm này:2×2−1=3≠0;2×3−1=5≠02 \times 2 - 1 = 3 \neq 0; 2 \times 3 - 1 = 5 \neq 0
  • Bước 3: Xét giới hạn:
  • lim⁡x→2−=−∞,lim⁡x→2+=+∞\lim_{x \to 2^-} = -\infty,\quad \lim_{x \to 2^+} = +\infty
  • lim⁡x→3−=+∞,lim⁡x→3+=−∞\lim_{x \to 3^-} = +\infty,\quad \lim_{x \to 3^+} = -\infty
  • Bước 4: Kết luận: Đồ thị có hai tiệm cận đứngx=2x=2và x=3x=3.

    • 8. Bài tập thực hành tự luyện

    Bài 1: Xác định tiệm cận đứng của các hàm số sau (giải thích đầy đủ quá trình):

  • a)y=x+2x2−1y = \frac{x+2}{x^2-1}
  • b)y=2−xx2+xy = \frac{2 - x}{x^2 + x}
  • c)y=1x2−4x+3y = \frac{1}{x^2-4x+3}
  • d)y=x−1x2−2x+1y = \frac{x-1}{x^2 - 2x + 1}
  • e) y=1x−3y = \frac{1}{\sqrt{x-3}}

    • Bài 2: Cho hàmy=x2−4x2−5x+6y = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6}. Hãy xác định các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số này.

    9. Mẹo, lưu ý và tránh sai lầm khi làm bài

  • - Luôn rút gọn phân thức trước khi xét nghiệm của mẫu số.
  • - Kiểm tra cả hai phía của giới hạn để xác định đúng bản chất tiệm cận đứng.
  • - Với hàm căn thức, đừng quên xét điều kiện xác định của hàm số trước khi tính giới hạn.
  • - Đối với bài toán nâng cao, cẩn trọng với các điểm vừa làm tử và mẫu bằng 0, phải rút gọn cẩn thận để tránh bỏ sót tiệm cận đứng.
  • - Ghi nhớ đặc điểm nhận biết tiệm cận đứng: Giá trị hàm số tiến ra vô cực khixxtiến đến nghiệm của mẫu số.

    • Việc rèn luyện nhiều dạng toán và luyện tập thêm các bài tập liên quan sẽ giúp bạn giải thành thạo và nhanh chóng các bài toán xác định tiệm cận đứng trong mọi đề kiểm tra và kỳ thi.

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".