Chiến lược giải bài toán: Xác định tọa độ vectơ từ hai điểm

1. Giới thiệu về loại bài toán và tầm quan trọng

Bài toán xác định tọa độ vectơ từ hai điểm là một trong những dạng cơ bản và thường xuyên xuất hiện trong chương trình Toán lớp 12, nhất là phần hình học tọa độ và giải tích không gian. Việc hiểu rõ cách xác định vectơ từ hai điểm giúp học sinh nắm vững khái niệm vectơ, biết cách biểu diễn hướng và độ lớn của vectơ dựa vào tọa độ, từ đó áp dụng vào nhiều bài toán phức tạp hơn như tính góc giữa hai vectơ, phương trình đường thẳng, mặt phẳng trong không gian, và các bài toán hình học vector khác.

Kỹ năng này không chỉ quan trọng trong học thuật mà còn rất thực tế khi giải quyết các bài toán thực tế có hệ tọa độ, như xác định hướng di chuyển, vận tốc trong bài toán chuyển động, hoặc tính toán độ chênh lệch vị trí trong không gian. Vì vậy, chúng ta cần một chiến lược rõ ràng để tiếp cận dạng bài này một cách nhanh chóng, chính xác và linh hoạt.

2. Phân tích đặc điểm của dạng bài xác định tọa độ vectơ

Trước khi bắt tay vào giải, ta cần nhận diện những đặc điểm chung của dạng bài:

- Đầu vào thường là hai điểm$A$và $B$cho trước với tọa độ trong hệ trục tọa độ 2D hoặc 3D.

- Yêu cầu là tìm tọa độ của vectơ $<br />olinebreak<br />olinebreak$1vAB hoặc các vectơ tỉ lệ, vectơ trung điểm, vectơ đối, v.v.

- Trong không gian 2D, vectơ có 2 thành phần; trong không gian 3D, vectơ có 3 thành phần. Học sinh cần linh hoạt áp dụng công thức tương ứng.

- Bài toán thường kèm theo các phần mở rộng như tính độ dài, xác định vectơ đơn vị, hoặc áp dụng vào phương trình đường thẳng, mặt phẳng.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Một chiến lược chung giúp học sinh giải nhanh và chính xác dạng bài này bao gồm các bước sau:

- Bước 1: Đọc kỹ đề, xác định rõ tọa độ của hai điểm cần tìm vectơ.

- Bước 2: Chọn vectơ cần tìm (thường là $<br />olinebreak<br />overrightarrow{AB}$hoặc$<br />olinebreak<br />overrightarrow{BA}$) để tránh nhầm lẫn dấu.

- Bước 3: Áp dụng công thức tính từng thành phần theo chiều$x$,$y$(và $z$nếu có).

- Bước 4: Viết kết quả vectơ dạng cặp hoặc bộ ba tọa độ, rồi kiểm tra dấu hiệu và tính hợp lý.

- Bước 5: Nếu đề yêu cầu phần mở rộng (độ dài, vectơ đơn vị, vectơ tỉ lệ, v.v.), lần lượt áp dụng công thức phụ trợ.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

4.1. Ví dụ trong không gian 2D

Cho$A(1,2)$và $B(4,6)$. Tính vectơ $<br />olinebreak<br />overrightarrow{AB}$.

Bước 1: Ghi tọa độ:$A(x_A,y_A)=(1,2)$,$B(x_B,y_B)=(4,6)$.

Bước 2: Áp dụng công thức cơ bản 2D:

$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A)$

Bước 3: Thay số vào:

$\overrightarrow{AB}=(4-1,\;6-2)=(3,4).$

Ta thu được vectơ $<br />olinebreak<br />overrightarrow{AB}=(3,4)$.

4.2. Ví dụ trong không gian 3D

Cho$A(-1,2,3)$và $B(3,-2,5)$. Tính vectơ $<br />olinebreak<br />overrightarrow{AB}$.

Áp dụng công thức 3D:

$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A,\;z_B-z_A).$

Thay tọa độ:

$\overrightarrow{AB}=(3-(-1),\;-2-2,\;5-3)=(4,-4,2).$

Kết quả:$<br />olinebreak<br />overrightarrow{AB}=(4,-4,2)$.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

Dưới đây là hệ thống các công thức cơ bản và kỹ thuật thường dùng khi làm dạng bài này:

- Công thức tính vectơ trong không gian 2D:

$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A).$

- Công thức tính vectơ trong không gian 3D:

$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A,\;z_B-z_A).$

- Tính độ dài vectơ 2D:

$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.$

- Tính độ dài vectơ 3D:

$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}.$

- Vectơ đơn vị theo hướng$<br />olinebreak<br />overrightarrow{AB}$:

$\overrightarrow{AB}$ trong không gian 3D từ điểm A(-1,2,3) đến điểm B(3,-2,5), với thành phần vectơ bằng (4, -4, 2)" class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

$\overrightarrow{AB}$ xuất phát từ điểm A(1,2) đến điểm B(4,6), với thành phần vectơ AB = (3,4) được hiển thị rõ ràng" class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

$\overrightarrow{AB}=(3,3)$ , với hệ số $k=2$ thu được vectơ tỉ lệ $\vec v=2\,\overrightarrow{AB}=(6,6)$ trên hệ trục toạ độ." title="Hình minh họa: Minh họa vectơ tỉ lệ: cho điểm A(1,2) và B(4,5), ta có $\overrightarrow{AB}=(3,3)$ , với hệ số $k=2$ thu được vectơ tỉ lệ $\vec v=2\,\overrightarrow{AB}=(6,6)$ trên hệ trục toạ độ." class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

$\overrightarrow{AB}=(4,-2)$ và phương trình tham số $(x,y)=(-1,2)+t(4,-2),\;t\in\mathbb{R}$ ." title="Hình minh họa: Minh họa đường thẳng đi qua hai điểm A(-1,2) và B(3,0), hiển thị vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(4,-2)$ và phương trình tham số $(x,y)=(-1,2)+t(4,-2),\;t\in\mathbb{R}$ ." class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

$\mathbf{u}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}.$

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Ngoài dạng cơ bản, học sinh cần nắm thêm một số biến thể sau và điều chỉnh chiến lược phù hợp:

- Tìm vectơ trung điểm$\overrightarrow{OM}$với$M$là trung điểm của$AB$:$M\bigl(\tfrac{x_A+x_B}{2},\tfrac{y_A+y_B}{2}\bigr).$

- Tìm vectơ tỉ lệ $\vec v= k\,\overrightarrow{AB}$: chỉ cần nhân mỗi thành phần với hệ số $k$.

- Bài toán xác định phương trình đường thẳng qua hai điểm: áp dụng vectơ chỉ phương$\overrightarrow{AB}$.

- Bài toán trong không gian với tọa độ 4D (khi mở rộng) thực chất vẫn áp dụng nguyên tắc tương tự.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết theo từng bước

Ví dụ 1: Cho$A(-1,3)$và $B(2,7)$. Tìm vectơ $\overrightarrow{BA}$.

Bước 1: Ghi tọa độ:$B(2,7)$,$A(-1,3)$.

Bước 2: Áp dụng công thức:$\overrightarrow{BA}=(x_A-x_B,y_A-y_B)$

Bước 3: Thay số:$\overrightarrow{BA}=(-1-2,3-7)=(-3,-4).$

Kết quả:$\overrightarrow{BA}=(-3,-4)$. Độ dài:$|\overrightarrow{BA}|=5$.

Ví dụ 2: Cho$A(0,-1,5)$,$B(-2,4,-3)$. Tính vectơ $\overrightarrow{AB}$và vectơ đơn vị theo$\overrightarrow{AB}$.

Bước 1: Tọa độ:$A(0,-1,5)$,$B(-2,4,-3)$.

Bước 2:$\overrightarrow{AB}=(-2-0,4-(-1),-3-5)=(-2,5,-8).$

Bước 3: Độ dài: $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-2)^2+5^2+(-8)^2}=\sqrt{4+25+64}=\sqrt{93}.$

Bước 4: Vectơ đơn vị: $\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{93}}(-2,5,-8).$

8. Bài tập thực hành để học sinh tự làm

1. Cho$A(3, -2)$và $B(7, 5)$. Tính$\overrightarrow{AB}$và độ dài của nó.

2. Cho$A(1,1,1)$,$B(4,0,5)$. Tìm vectơ $\overrightarrow{BA}$và vectơ đơn vị theo$\overrightarrow{BA}$.

3. Cho$A(2,3)$,$B(-1,4)$,$C(0,-2)$. Tính vectơ $\overrightarrow{AB}+2\,\overrightarrow{BC}$.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

- Luôn xét đúng thứ tự điểm trong vectơ (từ A đến B hay từ B đến A) để tránh nhầm dấu.

- Kiểm tra lại phép trừ tọa độ từng thành phần, đặc biệt với số âm.

- Khi chuyển sang phần mở rộng (độ dài, vectơ đơn vị), ghi rõ công thức trước rồi mới thay số.

- Luyện tập nhiều trường hợp 2D và 3D để quen với công thức và thao tác đại số.

- Đọc kỹ đề để xác định đúng hệ quy chiếu, tránh trường hợp đề cho vectơ trong hệ tọa độ có trục nghiêng.