1. Giới thiệu về bài toán xác định tọa độ vectơ từ hai điểm

Bài toán xác định tọa độ vectơ từ hai điểm là một trong những kiến thức nền tảng của chương trình hình học lớp 12. Đây là dạng bài xuất hiện nhiều trong các đề kiểm tra, thi học kỳ, thi tốt nghiệp THPT và các kỳ thi tuyển sinh đại học. Việc nắm chắc phương pháp xác định tọa độ vectơ giúp học sinh giải quyết nhanh và chính xác các bài toán liên quan đến hình học không gian, chứng minh thẳng hàng, đồng phẳng, song song, vuông góc, và xác định các yếu tố hình học khác.

2. Đặc điểm của bài toán

Dạng bài toán này thường có các đặc điểm sau:

• Cho tọa độ hai điểm$A(x_A; y_A; z_A)$và $B(x_B; y_B; z_B)$trong không gian.
• Yêu cầu xác định tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$.
• Thường là điểm khởi đầu cho các dạng toán về phân tích vectơ, tính độ dài, xác định phương trình đường thẳng, mặt phẳng,...

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để giải đúng và nhanh dạng toán này, học sinh cần tuân thủ các bước:

1. Xác định chính xác tọa độ hai điểm$A$và $B$.
2. Sử dụng đúng công thức xác định tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$.
3. Kiểm tra lại các phép trừ, dấu và ghi đúng thứ tự.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho$A(2; -5; 3)$và $B(4; 0; -1)$. Xác định tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$.

1. Viết tọa độ hai điểm$A(2; -5; 3)$và $B(4; 0; -1)$.
2. Áp dụng công thức:$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A;\y_B - y_A;\z_B - z_A)$
3. Thay số cụ thể:$\overrightarrow{AB} = (4 - 2;\ 0 - (-5);\ -1 - 3 ) = (2; 5; -4)$

Vậy tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$là $(2; 5; -4)$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

Công thức xác định tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$:

$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A;\y_B - y_A;\z_B - z_A)$

Trong mặt phẳng (hệ trục Oxy), công thức còn lại là:$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$

• Luôn trừ tọa độ điểm cuối cho tọa độ điểm đầu.
• Tọa độ sống đôi:$\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}$.

6. Biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Một số biến thể thường gặp và gợi ý điều chỉnh:

• Xác định tọa độ một điểm khi biết vectơ và điểm còn lại:$\overrightarrow{AB} = \vec{a} \Rightarrow B = (x_A + a_1;\y_A + a_2;\z_A + a_3)$.
• Tìm độ dài vectơ: $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$.
• Xác định tọa độ vectơ tổng/hiệu:$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = (x_B-x_A + x_D-x_C; y_B-y_A + y_D-y_C; z_B-z_A + z_D-z_C)$.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập mẫu: Cho điểm$M(3; -2; 4)$,$N(-1; 5; 0)$. Tìm tọa độ các vectơ $\overrightarrow{MN}$,$\overrightarrow{NM}$và $2\overrightarrow{MN}$.

1. Tính$\overrightarrow{MN}$:
   $<br>\overrightarrow{MN} = (x_N - x_M;\y_N - y_M;\z_N - z_M) = (-1-3;\ 5-(-2);\ 0-4) = (-4; 7; -4)<br>$
2. Tính$\overrightarrow{NM}$:
   $<br>\overrightarrow{NM} = (x_M - x_N;\y_M - y_N;\z_M - z_N) = (3-(-1);\ -2-5;\ 4-0) = (4; -7; 4)<br>$
3. Tính$2\overrightarrow{MN}$:
   $<br>2\overrightarrow{MN} = 2(-4; 7; -4) = (-8; 14; -8)<br>$

Nhận xét:$\overrightarrow{MN} = -\overrightarrow{NM}$như lý thuyết.

8. Bài tập thực hành

1. Cho$A(1; 2; 3)$,$B(4; -1; 5)$. Hãy tìm tọa độ $\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{BA}$.
2. Cho$C(-2; 1; 0)$,$D(5; 7; -1)$. Tìm tọa độ $\overrightarrow{CD}$, độ dài$|\overrightarrow{CD}|$.
3. Biết$E(3; -1; 2)$,$\overrightarrow{EF} = (4; 7; -3)$. Tìm tọa độ điểm$F$.
4. Cho$G(0; 0; 0)$,$H(2; 3; 6)$. Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{HG}$, và giá trị $|\overrightarrow{HG}|$.

9. Mẹo và chú ý để tránh sai lầm phổ biến

• Chú ý thứ tự phép trừ luôn là điểm cuối trừ điểm đầu.
• Ghi nhớ công thức cho từng trường hợp (2D hoặc 3D).
• Kiểm tra lại kết quả, chú ý dấu âm/dương và số liệu thay thế.
• Luôn phân biệt rõ $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{BA}$.
• Khi sử dụng kết quả trong các bài toán tiếp theo như tìm phương trình đường thẳng, mặt phẳng, hãy ghi rõ vectơ chỉ phương, pháp tuyến,... để tránh nhầm.