Blog

Lớp 12

Chiến lược giải bài toán Xác suất có điều kiện với bảng thống kê (Toán 12)

T
Tác giả
•
•6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán xác suất có điều kiện với bảng thống kê

Bài toán xác suất có điều kiện với bảng thống kê là dạng rất quen thuộc và xuất hiện thường xuyên trong chương trình Toán lớp 12 cũng như các đề thi THPT Quốc gia. Loại bài này sử dụng bảng liệt kê số liệu (bảng thống kê) để tìm xác suất các biến cố xảy ra khi đã biết thông tin về các điều kiện cụ thể. Thành thạo cách giải bài toán xác suất có điều kiện giúp học sinh giải được nhiều tình huống thực tế và tạo nền tảng vững chắc cho các chủ đề xác suất và thống kê nâng cao.

2. Đặc điểm của bài toán xác suất có điều kiện với bảng thống kê

  • Dữ liệu được trình bày dưới dạng bảng (hàng, cột theo tiêu chí phân loại đối tượng hoặc sự kiện).
  • Câu hỏi thường yêu cầu tính xác suất có điều kiện, thường gặp dạng "Biết rằng... thì xác suất... là bao nhiêu?"
  • Có thể tính toán được toàn bộ xác suất cho từng hàng/cột hoặc tổng thể.

    • 3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

  • Bước 1: Đọc kỹ đề, xác định rõ các tập hợp đối tượng và biến cố liên quan.
  • Bước 2: Xác định tổng thể các đối tượng (tổng các ô trong bảng) và xác định tập hợp con (theo điều kiện) cần xét.
  • Bước 3: Viết công thức xác suất có điều kiện phù hợp với yêu cầu bài (áp dụng theo định nghĩa xác suất có điều kiện).
  • Bước 4: Lấy số liệu trực tiếp từ bảng, thay vào công thức và tính kết quả.
  • Bước 5: Kiểm tra lại ý nghĩa từng bước, đảm bảo không lấy nhầm hàng/cột và mẫu số/bẫu số của xác suất.

    • 4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Cho bảng thống kê học sinh theo giới tính và kết quả thi:

    Bảng:

    Đạt | Trượt | Tổng

    Nam: 25 | 5 | 30

    Nữ: 20 | 10 | 30

    Tổng: 45 | 15 | 60

    Câu hỏi: Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Biết rằng học sinh đó là nữ, tính xác suất để bạn ấy đạt.

  • Bước 1: Xác định biến cố A: "Học sinh nữ đạt"; Điều kiện: "học sinh là nữ".
  • Bước 2: Tổng số học sinh nữ:n(B)=30n(B) = 30; Số nữ đạt:n(A ∩B)=20n(A \ \cap B) = 20.
  • Bước 3: Áp dụng công thức xác suất có điều kiện:

    • P(A∣B)=P(A∩B)P(B)=n(A∩B)n(B)P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{n(A \cap B)}{n(B)}

    • Bước 4: Thay số vào:P(A∣B)=2030=23P(A|B) = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}.

    Vậy xác suất để học sinh nữ được chọn đạt là 23\frac{2}{3}.

    5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • Định nghĩa xác suất có điều kiện:P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}(vớiP(B)>0P(B) > 0).
  • Nếu bảng cho số lượng, ta dùng:P(A∣B)=n(A∩B)n(B)P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)}.
  • Từ bảng:n(A∩B)n(A \cap B)là số phần tử ở giao giữa hàng & cột (ô giao),n(B)n(B)là tổng dòng/cuột tương ứng theo điều kiện.
  • Biết tổng số đối tượng hoặc tổng xác suất (100%), cần chú ý tỷ lệ phần trăm nếu bảng cho theo tỷ lệ.

    • 6. Các biến thể & cách điều chỉnh chiến lược

  • Cho bảng nhiều hơn 2 tiêu chí; xuất hiện đồng thời nhiều điều kiện (ví dụ: vừa là nữ, vừa thuộc nhóm độ tuổi nhất định).
  • Khi yêu cầu xác suất "biết rằng đã đạt", phải đảo vai trò điều kiện và biến cố.
  • Bảng cho tỷ lệ/tỉ số thay vì số lượng tuyệt đối: hãy xác định tổng số mẫu trước rồi tính như bình thường.

    • 7. Bài tập mẫu & lời giải chi tiết theo từng bước

    Bài tập mẫu:
    Một lớp học có 40 học sinh trong đó có 12 bạn nam học giỏi, 8 bạn nam học khá, 10 bạn nữ học giỏi, 10 bạn nữ học khá. Chọn ngẫu nhiên một bạn. Biết rằng bạn được chọn thuộc loại học giỏi, hỏi xác suất để bạn đó là học sinh nam.

    Bảng thống kê:

    Giỏi | Khá | Tổng

    Nam: 12 | 8 | 20

    Nữ: 10 | 10 | 20

    Tổng: 22 | 18 | 40

  • Bước 1: Xác định các biến cố: A = "Là học sinh nam"; B = "Học sinh học giỏi"
  • Bước 2: Ta có n(B)=22n(B) = 22(số học sinh học giỏi),n(A∩B)=12n(A \cap B) = 12(số nam học giỏi)
  • Bước 3: Áp dụng công thức xác suất có điều kiện:

    • P(A∣B)=n(A∩B)n(B)=1222=611P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{12}{22} = \frac{6}{11}

    Vậy xác suất để học sinh được chọn là học sinh nam khi biết rằng học sinh đó học giỏi là 611\frac{6}{11}.

    8. Bài tập thực hành

    Bài 1:
    Một tỉnh thống kê công nhân hai nhà máy như sau:
    Nhà máy A: 20 nam, 30 nữ;
    Nhà máy B: 25 nam, 25 nữ.
    Chọn ngẫu nhiên 1 công nhân. Biết rằng người đó là nữ, tính xác suất người đó ở nhà máy B.

    Bài 2:
    Một nhóm có 90 học sinh thi hai môn Toán-Văn với kết quả như sau:
    - 42 học sinh giỏi Toán, trong đó có 15 bạn cũng giỏi Văn.
    - 48 học sinh giỏi Văn.
    Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Biết rằng học sinh đó giỏi Toán, xác suất học sinh đó cũng giỏi Văn là bao nhiêu?

    9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

  • Xác định kỹ điều kiện "biết rằng" – nó luôn là mẫu số khi áp dụng công thức xác suất có điều kiện.
  • Chú ý phân biệt giữa xác suất thông thường và xác suất có điều kiện.
  • Tập trung vào thông tin giao giữa các hàng/cột theo đúng biến cố và điều kiện.
  • Đọc kỹ yêu cầu bài toán, nếu cần đảo ngược điều kiện phải đổi mẫu số tương ứng.
  • Với bảng cho tỷ lệ phần trăm, hãy chuyển đổi sang số lượng thực tế trước khi tính toán.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".