Chiến lược giải bài toán xác suất có điều kiện với sơ đồ hình cây lớp 12: Hướng dẫn chi tiết và bài tập mẫu

1. Giới thiệu bài toán xác suất có điều kiện với sơ đồ hình cây

Bài toán xác suất có điều kiện với sơ đồ hình cây là một trong những dạng trọng tâm của chương Xác suất trong chương trình Toán lớp 12. Đây là loại bài toán thường xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia vì khả năng kiểm tra hiểu biết về xác suất, lập luận logic, cũng như kỹ năng vẽ và sử dụng sơ đồ hình cây.

Việc vận dụng sơ đồ hình cây giúp học sinh giải quyết những bài toán xác suất chuỗi gồm nhiều giai đoạn liên tiếp, trong đó xác suất mỗi bước được tính dựa trên kết quả của các bước trước đó. Đây là lý do vì sao hiểu đúng, làm chủ phương pháp này là cực kỳ quan trọng.

2. Đặc điểm của kiểu bài toán này

Thường liên quan đến nhiều hành động/lựa chọn/công đoạn nối tiếp nhau.

Xác suất mỗi nhánh phụ thuộc vào kết quả xảy ra ở nhánh trước.

Có thể phải tính xác suất cho một hoặc nhiều trường hợp (quy tắc cộng, nhân xác suất).

Tư duy trực quan bằng hình vẽ sơ đồ cây giúp tránh nhầm lẫn và liệt kê hết các trường hợp.

3. Chiến lược tổng thể để giải bài toán xác suất hình cây

Đọc kỹ đề, xác định số hành động/lựa chọn nối tiếp.

Vẽ sơ đồ hình cây phân nhánh cho từng giai đoạn.

Tính xác suất từng nhánh dựa vào quy tắc nhân xác suất (nếu có điều kiện).

Tính xác suất cần tìm bằng cách cộng các nhánh phù hợp (nếu có nhiều trường hợp).

Kiểm tra lại tổng xác suất các nhánh phải bằng 1 (nếu bao phủ mọi khả năng).

4. Các bước giải bài toán xác suất có điều kiện với sơ đồ hình cây (Ví dụ minh họa)

Giả sử đề: Trong một hộp có 3 bi đỏ và 2 bi xanh, rút lần lượt 2 bi (không hoàn lại). Tính xác suất để rút được 1 bi đỏ và 1 bi xanh, bất kể thứ tự.

Bước 1: Xác định các giai đoạn – Có 2 lần rút bi.

Bước 2: Vẽ sơ đồ hình cây cho 2 lần rút:

+ Lần 1: Có thể rút Đỏ (R) hoặc Xanh (X).

+ Lần 2: Sau khi rút một bi, số lượng bi mỗi màu bị giảm đi.

Bước 3: Tính xác suất trên từng nhánh:

+ Nhánh 1: Rút 1 Đỏ rồi 1 Xanh:
- Xác suất rút Đỏ ở lần 1:$P_1 = \frac{3}{5}$
- Khi đã rút 1 Đỏ: còn lại 2 Đỏ và 2 Xanh, nên xác suất rút Xanh ở lần 2 là:$P_2 = \frac{2}{4}$
- Tổng xác suất nhánh này:$P_{Đ-X} = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$

+ Nhánh 2: Rút 1 Xanh rồi 1 Đỏ:
- Xác suất rút Xanh ở lần 1:$P'_1 = \frac{2}{5}$
- Khi đã rút 1 Xanh: còn 3 Đỏ và 1 Xanh, xác suất rút Đỏ ở lần 2:$P'_2 = \frac{3}{4}$
- Tổng xác suất nhánh này:$P_{X-Đ} = \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{10}$

Bước 4: Cộng xác suất các nhánh phù hợp:

Tổng xác suất rút được 1 đỏ, 1 xanh (không kể thứ tự):

$P = P_{Đ-X} + P_{X-Đ} = \frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Bước 5: Đáp số – Trình bày rõ ràng, ghi lại kết quả xác suất tìm được.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

Quy tắc nhân xác suất: Nếu hai sự kiện$A$và $B$xảy ra liên tiếp, xác suất để cả $A$và $B$đều xảy ra là$P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$.

Quy tắc cộng xác suất: Nếu các sự kiện$A_1, A_2,..., A_n$là rời nhau thì $P(A) = P(A_1) + P(A_2) +... + P(A_n)$.

Xác suất có điều kiện:$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.

Tổng xác suất tất cả các trường hợp phân biệt là 1.

Chú ý cập nhật số lượng đối tượng (theo từng bước trong sơ đồ cây).

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Rút có hoàn lại: Sau mỗi lần, đối tượng được trả lại hộp – số lượng không đổi.

Rút không hoàn lại: Đối tượng đã rút ra không đưa vào lại – số lượng giảm theo từng bước.

Nhiều bước hơn: Vẽ sơ đồ cây nhiều tầng, tính toán cẩn thận từng bước.

Yêu cầu xác suất gặp sự kiện phức tạp: Cần liệt kê hết các trường hợp thỏa mãn.

Áp dụng định lý xác suất toàn phần hoặc Bayes khi có thông tin bổ sung.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập: Một lớp có 5 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh chia thành 2 đợt (không hoàn lại). Tính xác suất để hai học sinh chọn ra thuộc hai giới tính khác nhau.

Bước 1: Lập sơ đồ hình cây:
- Đợt 1: Chọn Nam ($P_1 = \frac{5}{8}$) hoặc Nữ ($P'_1 = \frac{3}{8}$).
- Đợt 2: Nếu đã chọn Nam: còn 4 nam, 3 nữ. Nếu đã chọn Nữ: còn 5 nam, 2 nữ.

Bước 2: Xác suất đúng yêu cầu:

- Nhánh 1: Đợt 1 chọn Nam, đợt 2 chọn Nữ:
$P_A = \frac{5}{8} \times \frac{3}{7} = \frac{15}{56}$
- Nhánh 2: Đợt 1 chọn Nữ, đợt 2 chọn Nam:
$P_B = \frac{3}{8} \times \frac{5}{7} = \frac{15}{56}$

Bước 3: Xác suất chung:

$P = P_A + P_B = \frac{15}{56} + \frac{15}{56} = \frac{30}{56} = \frac{15}{28}$

8. Bài tập thực hành

- Một túi có 4 viên bi trắng và 2 viên bi đen. Rút ra lần lượt 2 viên bi không hoàn lại. Tính xác suất để có ít nhất một viên bi trắng.
- Một hộp có 3 cốc nước lọc, 2 cốc nước cam. Lấy ngẫu nhiên từng cốc một không hoàn lại. Tính xác suất lấy được ít nhất một cốc nước cam.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

Luôn ghi rõ các trường hợp xảy ra, tránh đếm sót hoặc trùng lặp trường hợp.

Vẽ sơ đồ cây cẩn thận, phân tích từng nhánh chính xác.

Cập nhật đúng số lượng đối tượng trong mỗi nhánh.

Khi đề bài không yêu cầu thứ tự, nhớ cộng các khả năng thuận và ngược.

Luôn kiểm tra tổng xác suất các trường hợp, đảm bảo không vượt quá 1.

Bài toán xác suất có điều kiện với sơ đồ hình cây là dạng bài quan trọng trong chương trình Toán lớp 12, giúp học sinh hiểu rõ bản chất xác suất nhiều bước. Áp dụng chiến lược vẽ sơ đồ hình cây, vận dụng quy tắc nhân, cộng xác suất và kiểm tra kỹ các biến thể sẽ giúp bạn tự tin giải thành thạo mọi đề dạng này.

Cách giải bài toán xác suất có điều kiện với sơ đồ hình cây lớp 12 – hướng dẫn chi tiết từ lý thuyết đến bài tập điển hình, dành cho học sinh ôn thi THPT Quốc gia.

Tổng hợp chiến lược giải bài toán xác suất có điều kiện với sơ đồ hình cây lớp 12 kèm công thức, ví dụ minh họa, mẹo và các bài tập tự luyện quan trọng cho ôn thi THPT.

Lớp 12