Chiến lược giải bài toán xét tính đơn điệu bằng bảng xét dấu đạo hàm cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán xét tính đơn điệu bằng bảng xét dấu đạo hàm

Bài toán “Xét tính đơn điệu của hàm số bằng bảng xét dấu đạo hàm” là một trong những nội dung trọng tâm của chương trình Giải tích lớp 12. Đây là kỹ năng không thể thiếu, vừa giúp học sinh hiểu sâu về bản chất của hàm số, vừa phục vụ trực tiếp cho yêu cầu tìm miền đồng biến/nghịch biến, cực trị, giá trị lớn nhất/nhỏ nhất trong các đề kiểm tra, thi THPT Quốc gia và luyện thi Đại học.

2. Đặc điểm của bài toán xét tính đơn điệu bằng bảng xét dấu đạo hàm

• Hàm số đã cho thường là đa thức, phân thức hữu tỉ hoặc hàm chứa căn thức, logarit, lũy thừa.
• Miền xác định là yếu tố quan trọng đầu tiên cần xét đến trước khi lập bảng xét dấu.
• Đạo hàm cấp 1$f'(x)$quyết định chiều biến thiên (đơn điệu) của hàm số $f(x)$.
• Điểm mà $f'(x) = 0$hoặc$f'(x)$không xác định là điểm nghi ngờ cực trị hoặc điểm gián đoạn.

3. Chiến lược tổng thể để giải bài toán xét tính đơn điều

Để giải hiệu quả bài toán này, học sinh nên tuân theo 4 bước chính sau:

• Bước 1: Xác định miền xác định của hàm số.
• Bước 2: Tính đạo hàm$f'(x)$.
• Bước 3: Giải phương trình$f'(x) = 0$và tìm các điểm mà $f'(x)$không xác định.
• Bước 4: Lập bảng xét dấu$f'(x)$, từ đó suy ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

4. Các bước giải bài toán xé́t tính đơn điệu bằng bảng xét dấu và ví dụ minh họa

Chúng ta sẽ minh họa chi tiết các bước bằng một ví dụ cụ thể dưới đây.

Ví dụ 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$

Bước 1: Tìm miền xác định
$\Rightarrow$Hàm số là đa thức nên xác định trên$\mathbb{R}$.

Bước 2: Tính đạo hàm
$\Rightarrow f'(x) = 3x^2 - 6x$

Bước 3: Tìm nghiệm của$f'(x) = 0$
$3x^2 - 6x = 0 \Leftrightarrow 3x(x-2) = 0 \Leftrightarrow x = 0$hoặc$x = 2$

Bước 4: Lập bảng xét dấu$f'(x)$:

Giải thích dấu:
- Chọn giá trị thử trong từng khoảng:
-$x < 0$, chọn$x = -1$:$f'(-1) = 3(-1)^2-6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0$
-$0 < x < 2$, chọn$x = 1$:$f'(1) = 3(1)^2-6(1) = 3 - 6 = -3 < 0$
-$x > 2$, chọn$x = 3$:$f'(3) = 3(9) - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0$

=> Hàm số:
- Đồng biến trên các khoảng$(-\infty, 0)$và $(2, +\infty)$
- Nghịch biến trên khoảng$(0, 2)$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức đạo hàm các hàm số cơ bản:
• $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$
• $(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$
• $(\frac{u(x)}{v(x)})' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$
• Đạo hàm căn: $(\sqrt{f(x)})' = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$
• Đạo hàm lũy thừa:$(x^n)' = nx^{n-1}$
• Đạo hàm logarit:$(\ln x)' = \frac{1}{x}$
• Nhớ xét miền xác định kỹ càng!

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

Bài toán đôi khi không chỉ hỏi về đồng biến, nghịch biến mà còn:
- Tìm m để hàm số đồng biến/nghịch biến trên một khoảng xác định
- Kết hợp cực trị, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
- Dạng phân thức, căn thức với điều kiện xác định phức tạp
Khi đó chiến lược gần như không đổi, nhưng cần chú ý thêm về:
- Biến tham số
- Điều kiện liên quan đến hệ số, mệnh đề trong câu hỏi
- Giải bất phương trình$f'(x) > 0$,$f'(x) < 0$ để tìm điều kiện của tham số

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Xét tính đơn điệu của hàm số $f(x) = \frac{x-1}{x+2}$

- Bước 1: Miền xác định:$x \neq -2$
- Bước 2: Tính đạo hàm:

$f'(x) = \frac{(x+2) \cdot 1 - (x-1) \cdot 1}{(x+2)^2} = \frac{x+2 - x + 1}{(x+2)^2} = \frac{3}{(x+2)^2}$

- Bước 3:$f'(x) = 0$không có nghiệm,$f'(x)$không xác định tại$x = -2$.
- Bước 4: Vì $(x+2)^2 > 0$mọi$x \neq -2$, nên$f'(x) > 0$trên miền xác định. Vậy:
- Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định$(-\infty, -2)$và $(-2, +\infty)$.

8. Bài tập thực hành cho học sinh tự làm

Bài 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $f(x) = x^3 + x^2 - 2x$. Bài 2: Xét tính đơn điệu của hàm số $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$trên$\mathbb{R}$. Bài 3: Với giá trị nào của $m$thì hàm số $y = x^2 + 2(m-1)x + m^2 - 3m$ đồng biến trên$\mathbb{R}$?

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm khi làm bài

• Luôn xác định và ghi rõ miền xác định trước khi xét đạo hàm!
• Không bỏ qua các điểm$f'(x)$không xác định, đặc biệt với phân thức hoặc căn thức.
• Nhớ kiểm tra dấu đạo hàm cẩn thận bằng cách thử giá trị tiêu biểu trong từng khoảng.
• Bảng xét dấu nên trình bày rõ ràng, dễ đọc để tránh nhầm lẫn.
• Với bài toán chứa tham số, giải bất phương trình về $f'(x)$ để xác định điều kiện tham số.