Chiến Lược Giải Quyết Bài Toán: Biểu Thức Tọa Độ Của Các Phép Toán Vectơ Lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán 'Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ'

Bài toán về biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ là một dạng toán quan trọng trong chương trình Toán 12, đặc biệt ở chương 'Vectơ và Hệ tọa độ trong không gian'. Loại bài này yêu cầu học sinh phải nắm vững cách chuyển đổi và vận dụng các phép toán vectơ (cộng, trừ, nhân với số, tính độ dài, xác định phương, tính góc…) trong hệ trục tọa độ Oxy, Oxyz. Việc thành thạo giải bài toán này giúp học sinh xây dựng tư duy hình học không gian chặt chẽ, là nền tảng cho các bài toán tọa độ phức tạp hơn ở bậc học cao hơn và cả trong các kỳ thi THPT quốc gia.

2. Đặc điểm của bài toán biểu thức tọa độ các phép toán vectơ

• Luôn cho biết hoặc yêu cầu xác định tọa độ các điểm/vectơ;
• Đòi hỏi vận dụng các phép toán cộng, trừ vectơ, tích với số, hoặc các phép biến đổi tọa độ;
• Yêu cầu tính toán chính xác, rõ ràng từng bước;
• Có thể kết hợp với các yêu cầu phụ: tìm vectơ thỏa mãn điều kiện, kiểm tra song song, vuông góc, tính khoảng cách…

3. Chiến lược tiếp cận tổng thể bài toán

• Bước 1: Vẽ hình, xác định hệ trục tọa độ và ký hiệu các điểm liên quan;
• Bước 2: Xác định (hoặc đặt ẩn) tọa độ các điểm/vectơ cần thiết;
• Bước 3: Sử dụng các công thức tọa độ để biểu diễn phép toán vectơ tương ứng;
• Bước 4: Rút gọn, tính toán và trả lời theo yêu cầu;
• Bước 5: Kiểm tra lại kết quả và đáp số.

4. Các bước giải chi tiết kèm ví dụ minh họa

- Ví dụ 1: Cho điểm$A(1,2)$,$B(3,5)$. Tìm tọa độ vectơ $\vec{AB}$?

+ Giải:

• Tọa độ $\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (3-1,5-2) = (2,3)$.

- Ví dụ 2: Trong không gian$Oxyz$, cho$A(1,0,2)$,$B(-1,5,3)$. Tìm độ dài$\vec{AB}$?

+ Giải:

• Tọa độ $\vec{AB} = (-1-1,5-0,3-2) = (-2,5,1)$.
• Độ dài: $|\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + 5^2 + 1^2} = \sqrt{4+25+1}=\sqrt{30}$.

- Ví dụ 3: Cho$M(2,1)$,$N(4,-3)$. Tìm tọa độ điểm C sao cho$\vec{MC} = 2\vec{MN}$.

+ Giải:

• Tọa độ $\vec{MN} = (4-2,-3-1) = (2,-4)$.
• $\vec{MC} = 2\vec{MN} = (4,-8)$. Khi đó,$C = (2+4,1-8) = (6,-7)$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Tọa độ vectơ:$\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)$hoặc$(x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$.
• Cộng/trừ vectơ:$\vec{u} \pm \vec{v} = (x_1 \pm x_2, y_1 \pm y_2, z_1 \pm z_2)$.
• Nhân vectơ với số:$k\vec{u} = (k x, k y, k z)$.
• Độ dài vectơ: $|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2}$hoặc$\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
• Điểm chia đoạn theo tỉ lệ $\lambda$:$M = \left( \frac{x_1 + \lambda x_2}{1+\lambda}, \frac{y_1 + \lambda y_2}{1+\lambda}\right)$.
• Tích vô hướng:$\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$. Dùng kiểm tra vuông góc hay tính góc.

6. Các biến thể bài toán và điều chỉnh chiến lược

$\\vec{AB}$ xuất phát từ điểm A(1,2) đến B(3,5), cho thấy vector AB = (2, 3) trên hệ trục tọa độ." title="Hình minh họa: Minh họa tọa độ vectơ $\\vec{AB}$ xuất phát từ điểm A(1,2) đến B(3,5), cho thấy vector AB = (2, 3) trên hệ trục tọa độ." class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

• Tìm điểm chia đoạn theo tỉ lệ (bài toán trung điểm, chia đoạn): Sử dụng công thức chia đoạn.
• Kiểm tra hai vectơ song song/ vuông góc: Dùng điều kiện tỉ lệ thành phần (song song) hoặc tích vô hướng = 0 (vuông góc).
• Tìm vectơ cùng phương, cùng độ dài với một vectơ cho trước...
• Kết hợp với bài toán khoảng cách, diện tích (dùng tích có hướng, định thức, quy tắc tam giác…) khi cần.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết từng bước

- Bài tập: Cho$A(1,2,3)$,$B(3,7,8)$,$C(5,0,2)$. Tính:
(a) Tọa độ $\vec{AB} + 2\vec{AC}$
(b) Độ dài$\vec{AC}$
(c) Kiểm tra xem hai vectơ $\vec{AB}$và $\vec{AC}$có vuông góc không?

+ Giải:

• (a)$\vec{AB} = (3-1,7-2,8-3) = (2,5,5)$.
  $\vec{AC} = (5-1,0-2,2-3) = (4,-2,-1)$.
  $\vec{AB} + 2\vec{AC} = (2,5,5) + 2.(4,-2,-1) = (2+8,5-4,5-2) = (10,1,3)$
• (b) Độ dài $\vec{AC} = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16+4+1} = \sqrt{21}$.
• (c) Tích vô hướng:$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2.4 + 5.(-2) + 5.(-1) = 8 -10 -5 = -7$, không vuông góc (vì tích vô hướng $<br> \neq 0$).

8. Bài tập thực hành luyện tập

- Bài 1: Cho$A(0,-1)$,$B(2,3)$. Tìm tọa độ $\vec{BA}$và độ dài của nó.

- Bài 2: Cho$C(-1,4,0)$,$D(2,1,5)$. Tính$3\vec{CD}$.

- Bài 3: Cho điểm$E(3,2)$,$F(7,6)$. Tìm tọa độ điểm G sao cho$\vec{EG}=\frac{1}{2}\vec{EF}$.

- Bài 4: Với$P(1,1,1)$,$Q(2,4,6)$, kiểm tra$\vec{OP}$và $\vec{OQ}$có cùng phương không?

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm thường gặp

• Luôn xác định đúng thứ tự điểm khi lập tọa độ vectơ ($\vec{AB} = B - A$);
• Ghi chú rõ không gian (phẳng Oxy hay không gian Oxyz);
• Không nhầm lẫn giữa tọa độ điểm và tọa độ vectơ;
• Luôn kiểm tra cẩn thận phép tính cộng, trừ, nhân vectơ;
• Chú ý dấu khi tính$\vec{AB}$và $\vec{BA}$;
• Vẽ hình minh họa nếu cảm thấy lẫn lộn;
• Kiểm tra lại điều kiện song song ($u = k v$) hay vuông góc (tích vô hướng = 0);
• Ôn lại các công thức cơ bản trước khi vào bài toán phức tạp.