Chiến lược giải quyết bài toán về Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Bài toán về biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ là một phần quan trọng trong chương Hình học của Toán lớp 12, cụ thể là chương Hệ tọa độ trong không gian. Việc giải quyết thành thạo loại bài này giúp học sinh nắm vững các khái niệm về vectơ, hiểu và vận dụng các phép toán vectơ trong không gian Oxyz, từ đó tạo nền tảng vững chắc cho giải các bài toán hình học không gian, luyện thi THPT Quốc gia, cũng như phát triển kỹ năng tư duy logic toán học.

2. Đặc điểm của loại bài toán này

Các bài toán liên quan tới biểu thức tọa độ của vectơ thường yêu cầu:

• Tính tọa độ vectơ dựa vào hai điểm cho trước.
• Thực hiện các phép cộng, trừ, nhân vectơ với số thực thông qua tọa độ.
• Biểu diễn các phép toán hình học (tính trung điểm, chia đoạn theo tỉ lệ, tìm hình chiếu, kiểm tra song song/vuông góc) thông qua các phép toán vectơ.

Bản chất của dạng bài là chuyển các thao tác hình học sang tính toán đại số với các tọa độ.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để giải quyết hiệu quả bài toán biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ, học sinh cần:

1. Hiểu rõ các định nghĩa, công thức cơ bản về vectơ trong không gian tọa độ Oxyz.
2. Xác định đúng hệ trục tọa độ và tọa độ các điểm.
3. Thành thạo các phép toán vectơ cơ bản: cộng, trừ, nhân với số.
4. Áp dụng linh hoạt công thức để giải quyết từng bước của bài toán.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Dưới đây là các bước giải chi tiết và ví dụ minh họa cụ thể.

• Bước 1: Xác định tọa độ các điểm, các vectơ cần tính.
• Bước 2: Áp dụng công thức tính tọa độ vectơ và phép toán.
• Bước 3: Thực hiện các phép tính đại số để tìm kết quả.
• Bước 4: Đối chiếu kết quả với yêu cầu hoặc điều kiện của bài.

Ví dụ minh họa:

Cho$A(1;2;3)$,$B(4;5;6)$. Hãy tìm tọa độ vectơ $\vec{AB}$và $<br /> tọa độ vectơ$\vec{AC}$biết$C(7;2;1)$.

Giải:

Tọa độ vectơ $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (4 - 1; 5 - 2; 6 - 3) = (3; 3; 3)$.

$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (7 - 1; 2 - 2; 1 - 3) = (6; 0; -2)$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

Các công thức quan trọng nhất:

• Nếu$A(x_1, y_1, z_1)$;$B(x_2, y_2, z_2)$thì $\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$.
• Cộng, trừ hai vectơ:$\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)$,$\vec{b} = (b_1; b_2; b_3)$thì $\vec{a} \pm \vec{b} = (a_1 \pm b_1; a_2 \pm b_2; a_3 \pm b_3)$.
• Nhân vectơ với số:$k\vec{a} = (ka_1; ka_2; ka_3)$.
• Điều kiện hai vectơ bằng nhau:$\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow a_1 = b_1; a_2 = b_2; a_3 = b_3$.
• Áp dụng tính chất các phép toán, công thức trung điểm, chia đoạn tỉ lệ…

Kỹ thuật thường dùng:

• Viết rõ tọa độ từng bước để tránh nhầm lẫn.
• Kiểm tra lại kết quả bằng cách suy luận ngược.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Một số biến thể thường gặp:

• Tìm điểm chia đoạn theo tỉ lệ $k$(dùng công thức chia đoạn).
• Tìm hình chiếu của 1 điểm lên 1 đường thẳng hoặc mặt phẳng (sử dụng phép toán vectơ).
• Kiểm tra hai vectơ có vuông góc/ song song không (tính tích vô hướng hoặc so sánh tỷ lệ tọa độ).
• Minh hoạ bài toán tổng hợp kết hợp các công thức trên.

Cách điều chỉnh chiến lược là luôn xác định nhiệm vụ chính cần giải và chọn công thức phù hợp, sau đó giải từng bước cẩn thận.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết theo từng bước

Bài tập: Cho$A(0; 1; 2)$,$B(3; 4; -1)$,$C(-2; 5; 1)$. Tìm:

1. a) Tọa độ vectơ $\vec{AB},\ \vec{AC}$
2. b) Tọa độ $\vec{u} = 2\vec{AB} - \vec{AC}$

Giải:

1. Ta có $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (3 - 0; 4 - 1; -1 - 2) = (3; 3; -3)$;$\vec{AC} = (-2 - 0; 5 - 1; 1 - 2) = (-2; 4; -1)$.
2. $2\vec{AB} = (6; 6; -6)$. Vậy$2\vec{AB} - \vec{AC} = (6 - (-2); 6 - 4; -6 - (-1)) = (8; 2; -5)$.

8. Bài tập thực hành cho học sinh

1. Cho$A(1; -2; 0)$,$B(3; 1; 4)$,$C(-1; 2; -2)$. a) Tính các vectơ $\vec{AB}$,$\vec{BC}$,$\vec{CA}$.
2. b) Tìm tọa độ vectơ $\vec{u} = \vec{AB} + 2\vec{BC} - \vec{CA}$.
3. c) Điểm$D$chia đoạn$AB$theo tỉ lệ $1:2$. Tìm tọa độ điểm$D$.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Luôn viết tường minh các bước tính để tránh nhầm dấu$+$,$-$.
• Trước khi kết luận, kiểm tra lại thứ tự phép tính và vị trí các điểm.
• Sử dụng giấy nháp hoặc vẽ hình nếu cần trực quan hóa.
• Ghi chú rõ tên điểm theo thứ tự khi tính hiệu tọa độ.
• Nếu kết quả khó tin (vượt quá giá trị hợp lý), kiểm tra lại số học chính xác.