1. Giới thiệu: Biểu thức tọa độ của tích vô hướng và vai trò trong hình học lớp 12

Trong chương trình Giải tích và Hình học lớp 12, các bài toán về biểu thức tọa độ của tích vô hướng giữa hai vectơ là một dạng bài quan trọng và thường gặp. Nắm vững phương pháp giải bài toán này giúp học sinh dễ dàng giải quyết nhiều dạng bài tập hình học không gian: tìm góc giữa hai vectơ, chứng minh ba điểm thẳng hàng, tìm điều kiện vuông góc, song song,... Tích vô hướng còn là công cụ nền tảng trong các kỳ thi THPT Quốc gia và ôn luyện học sinh giỏi.

2. Đặc điểm của các bài toán về biểu thức tọa độ của tích vô hướng

- Dữ kiện chủ yếu là tọa độ các điểm trong mặt phẳng (Oxy) hoặc không gian (Oxyz).
- Đối tượng tính toán là tích vô hướng giữa hai vectơ, có thể là giữa hai vectơ tổng quát hoặc giữa các véc-tơ từ tọa độ điểm.
- Kết quả dừng lại ở dạng biểu thức tọa độ hoặc giá trị số.

Tích vô hướng còn liên quan đến các tính chất hình học (vuông góc, góc giữa hai vectơ, xác định phương trình đường thẳng, mặt phẳng...) nên thường xuất hiện dưới dạng bài toán kết hợp.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

• Nhận diện cơ bản bài toán hỏi về tích vô hướng giữa hai vectơ.
• Xác định toạ độ các điểm/vectơ liên quan.
• Biểu diễn các vectơ dưới dạng tọa độ.
• Áp dụng công thức tích vô hướng theo tọa độ để giải.
• Phân tích ý nghĩa hình học nếu đề bài yêu cầu thêm (vuông góc, góc, môđun,...)

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh hoạ

Xét ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho$A(1, 2, 3)$,$B(2, 0, 5)$,$C(-1, 4, -1)$trong không gian$Oxyz$. Tính tích vô hướng$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.

1. Tìm tọa độ các vectơ cần tính:
2. Tính tích vô hướng bằng công thức tọa độ:
3. Trả lời và giải thích ý nghĩa kết quả (nếu có yêu cầu).

Bước 1. Biểu diễn các vectơ

$\overrightarrow{AB} = (2-1, 0-2, 5-3) = (1, -2, 2)$
$\overrightarrow{AC} = (-1-1, 4-2, -1-3) = (-2, 2, -4)$

Bước 2. Áp dụng công thức tích vô hướng theo tọa độ

Công thức tổng quát:

$\vec{u} = (x_1, y_1, z_1)$,$\vec{v} = (x_2, y_2, z_2)$

$<br />\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2<br />$

Thay số:

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 1 \times (-2) + (-2) \times 2 + 2 \times (-4) = -2 -4 -8 = -14$

Bước 3. Kiểm tra kết quả, nhận xét ý nghĩa (tùy bài)

Tích vô hướng âm, chứng tỏ hai vectơ tạo một góc tù (lớn hơn$90^\circ$).
Trong nhiều bài, cần so sánh giá trị tích vô hướng với$0$ để xác định vuông góc (bằng$0$), góc nhọn ($>0$) hoặc góc tù ($<0$).

5. Các công thức cần nhớ và kỹ thuật áp dụng nhanh

• Trong mặt phẳng$Oxy$:
  Nếu$\vec{u} = (x_1, y_1)$,$\vec{v} = (x_2, y_2):$
  $<br>\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2<br>$
• Trong không gian$Oxyz$:
  Nếu$\vec{u} = (x_1, y_1, z_1)$,$\vec{v} = (x_2, y_2, z_2):$
  $<br>\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2<br>$
• Góc giữa hai vectơ:
  $<br>\cos \theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}<br>$
• Hai vectơ vuông góc khi$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
• Kỹ thuật xác định nhanh tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB} = (x_B-x_A, y_B-y_A, z_B-z_A)$.

6. Các biến thể và chiến lược điều chỉnh

Các dạng điển hình và hướng dẫn riêng:

• Bài toán yêu cầu tìm góc giữa hai vectơ: Ngoài công thức tích vô hướng, cần dùng thêm công thức môđun$<br>\|<br>\vec{u}<br>\|$
  .
• Chứng minh hai vectơ vuông góc: Chứng minh$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
• Tìm điểm thỏa mãn điều kiện hình học (vị trí $M$sao cho các vectơ vuông góc): Lập phương trình tích vô hướng bằng$0$, rồi giải hệ.
• Bài toán không gian: Xử lý tương tự, nhưng chú ý đủ 3 tọa độ và các quy tắc vectơ không gian.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho tam giác$ABC$với$A(1,0)$,$B(3,4)$,$C(-2, 5)$. Tính tích vô hướng$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.

Giải:

1. Tính tọa độ các vectơ:
   $\overrightarrow{AB} = (3-1, 4-0) = (2, 4)$
   $\overrightarrow{AC} = (-2-1, 5-0) = (-3, 5)$
2. Áp dụng công thức tích vô hướng:
   $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \times (-3) + 4 \times 5 = -6 + 20 = 14$
3. Kết luận:$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 14$(góc giữa hai vectơ là góc nhọn vì $14 > 0$)

Bài tập 2: Trong không gian, cho$A(1,2,0)$,$B(0,3,1)$,$C(4,1,2)$. Tìm$\cos$của góc giữa$\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{AC}$.

Giải:

1. $\overrightarrow{AB} = (0-1, 3-2, 1-0) = (-1, 1, 1)$
   $\overrightarrow{AC} = (4-1, 1-2, 2-0) = (3, -1, 2)$
2. Tích vô hướng:$(-1)\times 3 + 1 \times (-1) + 1 \times 2 = -3 -1 +2 = -2$
3. Tính độ dài:
   $\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$
   $\|\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{14}$
4. Áp dụng công thức:
   $\cos \theta = \dfrac{-2}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{14}} = \dfrac{-2}{\sqrt{42}}$

8. Bài tập tự luyện (có đáp số)

1. Cho$A(1,2)$,$B(2,5)$,$C(4,1)$trong mặt phẳng$Oxy$. Tính tích vô hướng$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.
   (Đáp số:$-5$)
2. Cho$A(1,0,-2)$,$B(5,2,1)$,$C(0,1,3)$. Tính tích vô hướng$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.
   (Đáp số:$7$)
3. Tìm$x$ để các điểm$A(1, 2)$,$B(4, x)$,$C(-2, 6)$sao cho$\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{AC}$vuông góc.
   (Đáp số:$x = 0$)
4. Tìm$m$để vectơ$\vec{u} = (1, m, 2)$và $\vec{v} = (m, 2, -1)$vuông góc.
   (Đáp số:$m = -1$hoặc$m = 2$)

9. Mẹo, lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Xác định đúng chiều vectơ (đúng thứ tự điểm bắt đầu và kết thúc).
• Viết đúng công thức tọa độ, tránh nhầm dấu các thành phần.
• Đặc biệt với không gian$Oxyz$, nhớ đủ ba thành phần, không bỏ sót.
• Ghi nhớ kết quả tích vô hướng chỉ là một số (không phải vectơ).
• Nếu đề yêu cầu góc, đừng quên tính môđun (độ dài) của các vectơ.
• Luôn kiểm tra kết quả qua ý nghĩa hình học (vuông góc nếu$= 0$, góc nhọn nếu$>0$, góc tù nếu$<0$).

Kết luận

Trên đây là toàn bộ chiến lược và kỹ thuật cốt lõi giúp bạn chinh phục dạng bài Biểu thức tọa độ của tích vô hướng. Hãy rèn luyện thường xuyên với các dạng bài luyện tập để thành thạo cách giải bài toán này, đặc biệt chú ý áp dụng đúng công thức và vận dụng ý nghĩa hình học trong bài toán thực tế.