Chiến lược giải quyết bài toán ‘Biểu thức tọa độ của tích vô hướng’ – Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán ‘Biểu thức tọa độ của tích vô hướng’

Trong chương trình Hình học lớp 12, biểu thức tọa độ của tích vô hướng là một trong những nội dung then chốt giúp học sinh tiếp cận tốt hơn các bài toán hình học không gian. Việc thành thạo cách giải bài toán cách giải bài toán biểu thức tọa độ của tích vô hướng không chỉ giúp bạn xử lý thành thạo các dạng bài tập trong sách giáo khoa, mà còn tạo nền vững chắc để giải quyết các bài toán phức tạp trong các đề thi THPT Quốc gia.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán

Bài toán về biểu thức tọa độ của tích vô hướng thường xuất hiện dưới các dạng sau:

• Tính tích vô hướng của hai vectơ khi biết tọa độ các điểm/ vectơ trong không gian Oxyz.
• Thiết lập điều kiện vuông góc, đồng phẳng dựa trên tích vô hướng.
• Giải quyết các bài toán liên quan đến tìm tọa độ điểm, vectơ thỏa mãn điều kiện hình học sử dụng tích vô hướng.

Điểm mạnh của dạng bài này: đề thường rõ ràng dữ kiện, công thức tính cụ thể, dễ kiểm soát sai sót nếu hiểu kỹ phương pháp.

3. Chiến lược tổng thể để giải bài toán

Các bước giải quyết bài toán biệt thức tọa độ của tích vô hướng như sau:

1. Đọc kỹ đề, xác định rõ mục tiêu bài toán (tính tích vô hướng, tìm tham số, điều kiện vuông góc, đồng phẳng...)
2. Tìm tọa độ các vectơ cần thiết (thông thường xác định bằng tọa độ điểm đầu - điểm cuối).
3. Áp dụng công thức tính tích vô hướng.
4. Giải quyết tiếp các yêu cầu bài toán dựa trên hệ quả từ tích vô hướng vừa tính được.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Giả sử đề bài: Cho điểm$A(1,2,3)$,$B(4,2,0)$,$C(2,3,5)$. Tính tích vô hướng$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.

1. Bước 1: Xác định tọa độ các vectơ
2. Vectơ $\overrightarrow{AB} = (4-1, 2-2, 0-3) = (3,0,-3)$
3. Vectơ $\overrightarrow{AC} = (2-1, 3-2, 5-3) = (1,1,2)$
4. Bước 2: Áp dụng công thức tích vô hướng
5. Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a} = (a_1, a_2, a_3),\ \overrightarrow{b} = (b_1, b_2, b_3)$là $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$
6. Bước 3: Tính tích vô hướng
7. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + (-3) \cdot 2 = 3 + 0 - 6 = -3$

Kết luận: Tích vô hướng$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -3$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB} = (x_B-x_A,\y_B-y_A,\z_B-z_A)$
• Tích vô hướng hai vectơ:$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$
• Hai vectơ vuông góc khi và chỉ khi$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$
• Để tính độ dài vectơ: $|\overrightarrow{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$
• Cos của góc giữa hai vectơ:$\cos \alpha = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$

6. Các biến thể của bài toán

Một số dạng đặc biệt thường gặp:

• Tìm$k$ để hai vectơ ($\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$) vuông góc: Lập phương trình$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$, giải tìm$k$.
• Chứng minh ba điểm thẳng hàng (khi$\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{AC}$cùng phương, có thể vận dụng biểu thức tích vô hướng và độ dài).
• Tìm điểm thuộc đường thẳng/thỏa mãn điều kiện góc/độ dài (dùng biểu thức tọa độ của tích vô hướng kết hợp ẩn số trong tọa độ điểm).

Chiến lược xử lý vẫn là: xác định đúng vectơ, biểu diễn theo tọa độ, lập phương trình dựa trên điều kiện đề bài.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập: Cho$M(1, -2, 4)$,$N(3, 2, 1)$,$P(0, 1, 5)$. Tính tích vô hướng$\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MP}$và xác định xem hai vectơ này có vuông góc nhau không.

1. Xác định tọa độ vectơ:$\overrightarrow{MN} = (3-1, 2-(-2), 1-4) = (2, 4, -3)$
2. $\overrightarrow{MP} = (0-1,1-(-2),5-4) = (-1, 3, 1)$
3. Tích vô hướng$\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MP} = 2 \cdot (-1) + 4 \cdot 3 + (-3) \cdot 1 = -2 + 12 - 3 = 7$
4. Vì $\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MP} \ne 0$nên hai vectơ KHÔNG vuông góc.

8. Bài tập thực hành

1. Cho$A(2,1,3)$,$B(5,-2,4)$,$C(1,3,0)$. Tính tích vô hướng$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$. Hai vectơ này có vuông góc không?
2. Cho$D(1,1,1)$,$E(4,5,0)$,$F(x,2,7)$($x$là ẩn). Tìm$x$để$\overrightarrow{DE}$và $\overrightarrow{DF}$vuông góc.
3. Cho$M(0,0,2)$,$N(1,3,5)$,$P(-1,-3,0)$. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{MN}$và $\overrightarrow{MP}$.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Chú ý lấy đúng thứ tự tạo vectơ:$\overrightarrow{AB} = B - A$chứ không phải ngược lại.
• Kiểm tra lại dấu (âm/dương) khi lấy tọa độ và thực hiện phép nhân.
• Luôn thay đủ các chỉ số vào công thức, không bỏ sót thành phần.
• Với các bài tìm tham số, nhớ lập phương trình, giải kỹ tránh thiếu nghiệm hoặc nhầm lẫn dấu.
• Khi bài toán liên quan đến góc, cần tính chính xác độ dài vectơ.

Kết luận: Nắm vững cách giải bài toán biểu thức tọa độ của tích vô hướng sẽ giúp bạn thành thạo các thao tác hình học không gian ở mọi cấp độ từ cơ bản đến nâng cao. Hãy luyện tập với các ví dụ thực tế và chú ý kiểm tra lại các bước tính toán của mình để tránh sai sót.