Chiến Lược Toàn Diện Giải Quyết Bài 4: Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Một Số Hàm Số Cơ Bản Cho Học Sinh Lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cơ bản

Bài toán "Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản" là một nội dung trọng tâm trong chương trình Toán lớp 12, đặc biệt ở chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số". Dạng bài này không chỉ kiểm tra kiến thức lý thuyết vững chắc mà còn rèn luyện kỹ năng giải quyết bài toán tổng hợp, phân tích - đồ họa. Việc làm chủ loại bài toán này giúp học sinh nắm chắc kiến thức nền tảng, đồng thời là bước đệm quan trọng cho ôn thi THPT Quốc gia và Đại học.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Thông thường, bài toán khảo sát và vẽ đồ thị yêu cầu học sinh phải tìm hiểu toàn diện về một hàm số: xác định tập xác định, tính chẵn lẻ, xác định tiệm cận, tính đạo hàm, cực trị, xét tính đơn điệu, giới hạn, sự tương giao với các trục tọa độ,... sau đó dựng hình đồ thị chuẩn xác. Hàm số khảo sát chủ yếu là đa thức bậc nhất/bậc hai, hàm phân thức hữu tỉ đơn giản hoặc các hàm cơ bản mở rộng.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Một chiến lược giải quyết hiệu quả dạng bài này cần tuần tự các bước sau:

• Xác định tập xác định
• Tìm các yếu tố đối xứng (chẵn, lẻ) của hàm số
• Tìm giao điểm với trục Ox, Oy
• Tìm tiệm cận ngang, tiệm cận đứng (nếu có)
• Tính đạo hàm, xác định bảng biến thiên (giới hạn, cực trị, khoảng đơn điệu)
• Vẽ đồ thị đủ các yếu tố trên

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x + 1$.

1. Bước 1: Xác định tập xác định$D$:
   Hàm số này là đa thức nên$D = \mathbb{R}$(tập số thực).
2. Bước 2: Xét tính chẵn lẻ:
   $y(-x) = (-x)^3 - 3(-x) + 1 = -x^3 + 3x + 1 \neq y(x),\; y(-x) \neq -y(x)$. Vậy hàm số không chẵn, không lẻ.
3. Bước 3: Tìm giao điểm với trục tọa độ:
   - Giao với Oy:$x=0 \to y = 1 \Rightarrow (0;1)$.
   - Giao với Ox:$x^3 - 3x + 1 = 0$. Phương trình bậc 3, nghiệm xấp xỉ (tìm nghiệm gần đúng hoặc ước lượng sơ đồ Horner, không cần nghiệm chính xác trong ví dụ này).
4. Bước 4: Tìm cực trị, bảng biến thiên;
   Tính đạo hàm:$y' = 3x^2 - 3 = 3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$.
   Cho$y'=0 \Rightarrow x = 1, x = -1$.
   Lập bảng biến thiên:

Kết quả:
- Hàm tăng trên khoảng$(-\infty, -1)$và $(1, +\infty)$
- Hàm giảm trên$(-1, 1)$
- Cực đại tại$x = -1: y = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3$
- Cực tiểu tại$x=1: y=1 -3 +1 = -1$

1. Bước 5: Lập bảng giá trị và vẽ đồ thị, kết hợp thông tin vừa thu được.
2. Bước 6: Vẽ đồ thị dựa trên biến thiên và các đặc điểm đã tìm.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Đạo hàm cơ bản:$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$
• Cách tìm giao điểm với trục Ox: giải$y(x) = 0$
• Tìm tiệm cận đứng: nghiệm của mẫu số (nếu có phân thức)
• Tìm tiệm cận ngang: tính$\lim_{x \to \pm \infty} y(x)$
• Bảng biến thiên: dựa vào dấu đạo hàm$y'$và tính$y$tại các điểm đặc biệt.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Một số biến thể thường gặp:

• Khảo sát hàm số có tham số $m$: Làm tương tự, chú ý xác định với từng giá trị $m$
• Hàm phân thức hữu tỉ $y = \frac{ax + b}{cx + d}$: Phải chú ý xác định tập xác định, tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, cực trị.
• Hàm logarit hoặc hàm luỹ thừa: Xét kỹ điều kiện xác định và các điểm đặc biệt.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết theo từng bước

Bài tập mẫu: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{2x-1}{x+1}$.

1. Bước 1: Tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.
2. Bước 2: Giao điểm với trục:
3. + Trục Ox:$\frac{2x-1}{x+1} = 0 \to x = \frac{1}{2}$
4. + Trục Oy:$x=0 \to y=-1$
5. Bước 3: Tiệm cận đứng$x = -1$(mẫu số bằng 0); Tiệm cận ngang$\displaystyle y=2$($\lim_{x \to \infty} \frac{2x-1}{x+1}=2$)
6. Bước 4: Tính đạo hàm:
   $y' = \frac{(2)(x+1)-(2x-1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x + 2 - 2x + 1}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2} > 0$, với mọi$x \neq -1$.
7. Bước 5: Hàm số luôn đồng biến, đồ thị nhìn chung là hyperbol kẹp quanh các tiệm cận.

Bảng biến thiên:

Vẽ đồ thị: Xác định trục, các giao điểm, vẽ 2 nhánh dựa trên bảng biến thiên và tiệm cận.

8. Bài tập thực hành

Hãy khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau. (Hướng dẫn: Làm đủ 6 bước trên)

• a.$y = x^4 - 2x^2$
  
• b.$y = \frac{x+2}{x-2}$
  
• c. $y = \sqrt{x^2 + 1}$
  

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn xác định tập xác định trước khi làm các bước tiếp theo.
• Đối với phân thức, chú ý tiệm cận đứng và tiệm cận ngang!
• Chia nhỏ bảng biến thiên thành các khoảng liên tục, đặc biệt quanh các điểm không xác định.
• Vẽ đồ thị: luôn đánh dấu rõ các giao điểm, tiệm cận, và cực trị (nếu có).
• Kiểm tra lại dấu đạo hàm và bảng biến thiên để tránh nhầm lẫn dấu.
• Nếu gặp khối lượng phương trình giải nghiệm lớn, dùng phương pháp xấp xỉ, máy tính hoặc kiểm tra giá trị đặc biệt.

Hy vọng với chiến lược tổng thể và các ví dụ chi tiết trên, các em sẽ nắm vững cách giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản và tự tin khi làm bài thi Toán 12 cũng như các kỳ thi quan trọng!