Chiến Lược Giải Quyết Bài 4: Khảo Sát và Vẽ Đồ Thị Một Số Hàm Số Cơ Bản Lớp 12

Dạng toán "Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản" là một chủ đề nền tảng trong chương trình Toán lớp 12. Bài toán yêu cầu học sinh sử dụng các kiến thức về đạo hàm, xét tính đơn điệu, cực trị, điểm uốn, tiệm cận… để phân tích và vẽ đồ thị của các hàm số cơ bản như bậc nhất, bậc hai, bậc ba, hàm trùng phương, hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất, bậc hai/bậc nhất… Dạng bài này thường xuất hiện với tần suất cao trong đề kiểm tra định kỳ, thi thử, và đặc biệt là trong các đề thi THPT Quốc gia.

Việc thành thạo "khảo sát và vẽ đồ thị" giúp học sinh không chỉ đạt điểm cao, mà còn hiểu sâu các khái niệm hàm số, phục vụ cho cả các dạng toán ứng dụng như giải phương trình, bất phương trình, và thực tiễn. Hiện có hơn 42.226 bài tập miễn phí dạng này để luyện tập củng cố kỹ năng.

• Đề bài yêu cầu "khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị" của một hàm số cụ thể.
• Các từ khóa đặc trưng: “khảo sát”, “vẽ đồ thị”, “xét sự biến thiên”, “hàm số”, "tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm số", "cực trị", "tiệm cận", "điểm uốn", v.v.
• Dạng bài này khác biệt với các bài chỉ yêu cầu xác định các đặc điểm rời rạc (cực trị, đồng biến, nghịch biến...) vì cần trình bày đầy đủ các bước khảo sát và thể hiện đồ thị.

• Đạo hàm và ý nghĩa hình học của đạo hàm.
• Bảng xét dấu của đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị.
• Tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, điểm uốn của hàm số.
• Cách xác định giao điểm với trục tọa độ.
• Kỹ năng tính đạo hàm, lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị.

• Đọc kỹ đề, khoanh tròn yêu cầu "khảo sát", "vẽ đồ thị".
• Xác định rõ dạng hàm số: bậc nhất, bậc hai, bậc ba…
• Ghi lại các hệ số, điều kiện, tham số đặc biệt nếu có.

• Xác định các bước khảo sát: tìm tập xác định, tính đạo hàm, xét dấu đạo hàm…
• Lập bảng biến thiên (nếu cần), dự đoán hình dạng đồ thị.
• Sắp xếp trình tự khảo sát – vẽ đồ thị – trả lời các câu hỏi phụ (nếu có).

• Tính toán chi tiết từng bước: đạo hàm, xét dấu, tính các giá trị đặc biệt.
• Lập bảng biến thiên chính xác.
• Vẽ đồ thị cẩn thận: thể hiện rõ các điểm đặc biệt, trục hoành, cực trị, tiệm cận…
• Soát lại kết quả bằng cách kiểm tra một số điểm thuộc đồ thị.

• Tiến hành lần lượt các bước: xác định tập xác định, tìm đạo hàm, xác định cực trị, điểm uốn, tiệm cận, giao trục…
• Vẽ bảng biến thiên chi tiết.
• Thích hợp khi mới luyện tập hoặc với bài cơ bản.
• Ưu điểm: trắc chắc, ít bỏ sót ý.
• Hạn chế: tốn thời gian với bài nâng cao hay có nhiều tham số.

• Nhận diện nhanh hình dạng đồ thị theo hệ số và dấu hiệu đặc trưng.
• Dùng mẹo ghi nhớ bảng biến thiên của các hàm số cơ bản.
• Tối ưu hóa tính toán bằng các kỹ thuật nhóm hạng tử, sử dụng đồ thị phụ trợ, hoặc biến đổi đại số.
• Dùng máy tính cầm tay kiểm tra nhanh nghiệm hoặc giá trị, các điểm cắt trục.
• Thích hợp với bài nâng cao, khi cần tiết kiệm thời gian.

Đề bài: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x + 2$.

Hướng dẫn giải:

• Tập xác định:
  $$D = \\mathbb{R}$$
  (vì là đa thức).
• Tính đạo hàm:$y' = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$.
• Giải$y' = 0$:$x = 1$,$x = -1$(các điểm nghi ngờ cực trị).
• Lập bảng xét dấu$y'$và bảng biến thiên.
• Tính$y(-1) = 4$,$y(1) = 0$=> điểm cực đại:$(-1;4)$, cực tiểu:$(1;0)$.
• Xét giới hạn khi$x \to \pm \infty$ để xác định hành vi đồ thị.
• Tìm giao điểm với trục$Oy$tại$x = 0$:$y(0) = 2$; giao với trục$Ox$giải$x^3 - 3x + 2 = 0$.
• Vẽ đồ thị dựa trên kết quả tìm được.

Cho hàm số $y = \frac{2x+1}{x-1}$, khảo sát và vẽ đồ thị. So sánh hai cách giải: truyền thống và sử dụng nhận diện nhanh dạng phân thức.

Cách 1 (truyền thống): khảo sát đầy đủ tập xác định, tính đạo hàm, tìm cực trị, tiệm cận, bảng biến thiên.

Cách 2 (nhận diện nhanh): nhận dạng hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất, xác định nhanh tiệm cận đứng, ngang, điểm cắt trục và dự đoán nhanh hình dạng đồ thị.

Ưu điểm cách 1: Không bỏ sót ý, phù hợp luyện tập. Ưu điểm cách 2: Nhanh, thích hợp khi cần vẽ hoặc kiểm tra nhanh, nhưng cần luyện tập để tránh nhầm. Khi học, nên kết hợp cả hai kỹ năng để có hiệu quả tối đa.

• Khảo sát hàm số có chứa tham số $m$,$a$,$b$… cần kết hợp điều kiện của các tham số.
• Bài chỉ yêu cầu tìm cực trị, điểm uốn mà không cần vẽ đồ thị đầy đủ.
• Bài cho hàm số đặc biệt: hàm trùng phương, hàm phân thức bậc hai/bậc nhất…
• Cách điều chỉnh: luôn đọc kỹ yêu cầu, xác định mục tiêu chính của bài toán để chọn phương pháp phù hợp.

• Chọn sai hoặc thiếu bước khảo sát (ví dụ quên xét tiệm cận, điểm uốn…).
• Áp dụng sai công thức đạo hàm hoặc nhầm lẫn dấu.
• Khắc phục: Ghi nhớ thứ tự các bước và lập bảng kiểm tra sau khi giải.

• Tính sai đạo hàm, sai nghiệm giải phương trình.
• Làm tròn số không đúng (nếu có liên quan đến bài toán thực tế).
• Soát lại kết quả bằng việc thế lại nghiệm, dùng máy tính kiểm tra nhanh.

Bạn có thể truy cập 42.226+ bài tập cách giải Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản miễn phí. Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay và theo dõi tiến độ, cải thiện kỹ năng mỗi ngày!

• Mỗi tuần dành ít nhất 2-3 buổi luyện tập các bài khảo sát hàm số và vẽ đồ thị.
• Đặt mục tiêu hoàn thành toàn bộ danh sách bài tập cơ bản trước, sau đó chuyển sang bài nâng cao.
• Tự ghi chú các lỗi hay gặp, đối chiếu trước khi làm bài mới.
• Sau mỗi tuần, tự đánh giá bằng cách thử giải nhanh một đề tổng hợp hoặc giải lại các bài đã từng mắc lỗi.