Chiến lược giải quyết bài toán biểu diễn vectơ bằng ba vectơ đơn vị i, j, k

1. Giới thiệu về bài toán và tầm quan trọng

Biểu diễn vectơ bằng ba vectơ đơn vị i, j, k là dạng bài toán quan trọng trong chương trình Toán lớp 12, đặc biệt trong chuyên đề Hình học không gian. Kỹ năng này giúp học sinh hiểu sâu về tọa độ không gian, đơn giản hóa các phép toán vectơ, đồng thời là nền tảng để giải các bài toán phức tạp như tích vô hướng, tích có hướng, phương trình đường thẳng, mặt phẳng.

2. Đặc điểm của loại bài toán biểu diễn vectơ bằng i, j, k

• Liên quan đến hệ trục tọa độ không gian$Oxyz$.
• Biểu diễn vectơ dưới dạng tổ hợp tuyến tính của ba vectơ đơn vị $\vec{i}$,$\vec{j}$,$\vec{k}$trong không gian.
• Thường cho biết tọa độ của các điểm hoặc vectơ, yêu cầu xác định biểu thức vectơ theo$\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$.
• Có thể yêu cầu ngược lại: từ biểu thức vectơ, xác định tọa độ hoặc độ dài, hoặc tính toán phép toán vectơ.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

1. Xác định tọa độ của các điểm liên quan (góc O, đầu và đuôi vectơ).
2. Xác định tọa độ vectơ cần biểu diễn dựa trên tọa độ các điểm.
3. Trình bày vectơ đó dưới dạng:$\vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k}$.
4. Luyện tập các phép toán cộng, trừ, tích với các vectơ đã biểu diễn.

4. Các bước giải quyết chi tiết (có ví dụ minh họa)

1. Bước 1: Xác định tọa độ các điểm
2. Bước 2: Tính tọa độ của vectơ dựa trên tọa độ điểm đầu và điểm cuối
3. Bước 3: Biểu diễn vectơ bằng ba vectơ đơn vị $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$

Ví dụ minh họa:

Cho điểm A(1;2;3) và B(-2;4;1) trong không gian Oxyz. Hãy biểu diễn vectơ $\vec{AB}$theo$\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$.

Giải:Bước 1: Xác định tọa độ hai điểm.
A(1;2;3), B(-2;4;1)Bước 2: Tính tọa độ $\vec{AB}$:$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (-2-1; 4-2; 1-3) = (-3; 2; -2)$Bước 3: Biểu diễn:$\vec{AB} = -3\vec{i} + 2\vec{j} -2\vec{k}$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Biểu diễn điểm$M(x; y; z)$trong không gian:$\vec{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$
• Tính tọa độ vectơ $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$
• Biểu diễn vectơ:$\vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k}$
• Độ dài vectơ: $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• Cho trước biểu thức vectơ, yêu cầu xác định tọa độ điểm: Dùng phép giải ngược lại.
• Bài toán liên quan phép toán vectơ (cộng, trừ, tích vô hướng, tích có hướng): Biểu diễn tất cả các vectơ cần thiết theo dạng$\vec{i},\vec{j},\vec{k}$rồi áp dụng quy tắc.
• Bài toán liên kết với phương trình đường thẳng/mặt phẳng: Xác định các vectơ chỉ phương, pháp tuyến dưới dạng$\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập mẫu:
Cho ba điểm$A(2; -1; 3)$,$B(0; 4; 5)$,$C(-3; 2; 7)$. Hãy biểu diễn các vectơ $\vec{AB}$,$\vec{AC}$,$\vec{BC}$bằng ba vectơ đơn vị $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$.

Lời giải chi tiết: Ta áp dụng các bước với từng vectơ:

1. Tọa độ $A(2; -1; 3)$,$B(0; 4; 5)$,$C(-3; 2; 7)$
2. $\vec{AB} = (0-2; 4 - (-1); 5-3) = (-2; 5; 2)\to \vec{AB} = -2\vec{i} + 5\vec{j} + 2\vec{k}$
3. $\vec{AC} = (-3-2; 2 - (-1); 7-3 ) = (-5; 3; 4) \to \vec{AC} = -5\vec{i} + 3\vec{j} + 4\vec{k}$
4. $\vec{BC} = (-3-0; 2-4; 7-5 ) = (-3; -2; 2 )\to \vec{BC} = -3\vec{i} -2\vec{j} +2\vec{k}$

8. Bài tập vận dụng (tự luyện)

1. Cho điểm$A(1; 3; -2)$,$B(2; -1; 5)$, hãy biểu diễn$\vec{AB}$bằng$\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$.
2. Cho$\vec{a} = 4\vec{i} - 2\vec{j} + 3\vec{k}$và $\vec{b} = -\vec{i} + 5\vec{j} - \vec{k}$, hãy tính$\vec{a} + \vec{b}$và $|\vec{a}|$.
3. Cho hai điểm$A(3;0;0)$,$B(0;3;0)$. Hãy biểu diễn$\vec{AB}$.
4. Biểu diễn toạ độ điểm$M$sao cho$\vec{OM} = 2\vec{i} - 3\vec{j} + 4\vec{k}$.

9. Mẹo và lưu ý giúp tránh sai lầm thường gặp

• Phải nhớ hướng của các phép toán:$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$, không phải ngược lại.
• Cẩn thận với dấu khi trừ toạ độ các điểm.
• Viết đúng thứ tự các thành phần$\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$.
• Kiểm tra lại kết quả bằng cách thay các thành phần vào định nghĩa.
• Luyện tập nhiều với các dạng khác nhau để nắm vững phương pháp.