Chiến Lược Giải Quyết Bài Toán Biểu Thức Tọa Độ của Tổng và Hiệu Hai Vectơ Lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán và tầm quan trọng

Bài toán về biểu thức tọa độ của tổng và hiệu hai vectơ là một phần kiến thức trọng tâm của chương trình Toán 12, đặc biệt ở chương 'Vectơ và hệ tọa độ trong không gian'. Nắm vững dạng toán này không chỉ giúp học sinh giải nhanh các bài tập hình học không gian mà còn tạo nền tảng cho các dạng bài phức tạp hơn về các phép toán vectơ, ứng dụng trong bài toán thực tế và các kỳ thi lớn như THPT Quốc gia.

2. Đặc điểm của bài toán biểu thức tọa độ của tổng và hiệu hai vectơ

- Đối tượng xử lý là hai vectơ trong không gian tọa độ (thường là $ext{Oxyz}$).
- Yêu cầu xác định tọa độ của vectơ tổng$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$hoặc vectơ hiệu$\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$khi biết tọa độ hai vectơ.

- Dạng bài thường xuất hiện qua hình học (xác định vectơ hai điểm), tính các biểu thức có chứa cả tổng, hiệu, và/hoặc các hệ số.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để giải quyết hiệu quả dạng bài này, học sinh cần:
- Nhớ chắc công thức tọa độ của tổng và hiệu hai vectơ.
- Biết xác định tọa độ các vectơ xuất phát từ tọa độ hai điểm.
- Rèn kỹ năng tính toán chính xác với các biểu thức tọa độ.

Các bước tổng quát như sau:

• Bước 1: Xác định tọa độ của các điểm liên quan (nếu cần)
• Bước 2: Viết tọa độ các vectơ cần thiết dựa trên điểm đã cho
• Bước 3: Áp dụng công thức tổng, hiệu vectơ
• Bước 4: Kết luận và kiểm tra lại kết quả

4. Các bước giải chi tiết kèm ví dụ minh họa

Giả sử cho hai vectơ $\boldsymbol{a} = (a_1, a_2, a_3)$và $\boldsymbol{b} = (b_1, b_2, b_3)$trong không gian tọa độ.

Ví dụ 1: Tính tọa độ tổng và hiệu hai vectơ

Cho$\boldsymbol{a} = (2, -1, 3)$và $\boldsymbol{b} = (1, 4, -2)$. Tìm tọa độ các vectơ $\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$và $\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$.

Giải:

- Tọa độ của$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$là:

$$(2 + 1,\\ -1 + 4,\\ 3 + (-2)) = (3, 3, 1)$$

- Tọa độ của$\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$là:

$$(2 - 1,\\ -1 - 4,\\ 3 - (-2)) = (1, -5, 5)$$

Ví dụ 2: Áp dụng cho vectơ xác định bởi hai điểm

Cho$A(1, 2, 3)$,$B(2, 0, -1)$,$C(-1, 1, 2)$. Hãy tính tọa độ các vectơ $\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AC}$và $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$.

Giải:
-$\overrightarrow{AB} = (2 - 1, 0 - 2, -1 - 3) = (1, -2, -4)$
-$\overrightarrow{AC} = (-1 - 1, 1 - 2, 2 - 3) = (-2, -1, -1)$
-$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = (1 + (-2), -2 + (-1), -4 + (-1)) = (-1, -3, -5)$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Tọa độ tổng hai vectơ $\boldsymbol{a} = (a_1, a_2, a_3)$và $\boldsymbol{b} = (b_1, b_2, b_3)$:
• $\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3)$
• Tọa độ hiệu hai vectơ:
• $\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3)$
• Với điểm$A(x_1, y_1, z_1)$và $B(x_2, y_2, z_2)$, tọa độ $\overrightarrow{AB}$là:
  $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$

6. Biến thể và cách điều chỉnh chiến lược

• Dạng kết hợp thêm hệ số:
• $\boldsymbol{v} = \, k\boldsymbol{a} + m\boldsymbol{b}$(với$k, m \in \mathbb{R}$)
  =>$\boldsymbol{v} = (k a_1 + m b_1, k a_2 + m b_2, k a_3 + m b_3)$
• Bài toán đảo (cho tổng, hiệu, tìm một vectơ thành phần):
  Giả sử biết$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$và $\boldsymbol{a}$, hãy tìm$\boldsymbol{b}$:
  =>$\boldsymbol{b} = (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) - \boldsymbol{a}$
• Bài toán hình học: Áp dụng với các vectơ xác định trên hình không gian, như tính đường chéo, trung điểm...

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1:
Cho$A(0, 2, -3)$,$B(1, -1, 2)$và $C(3, 0, 1)$. Tính tọa độ các vectơ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$và $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$.

Lời giải:
-$\overrightarrow{AB} = (1 - 0, -1 - 2, 2 - (-3)) = (1, -3, 5)$-$\overrightarrow{AC} = (3 - 0, 0 - 2, 1 - (-3)) = (3, -2, 4)$-$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = (1 + 3, -3 + (-2), 5 + 4) = (4, -5, 9)$-$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = (3 - 1, -2 - (-3), 4 - 5) = (2, 1, -1)$

8. Bài tập thực hành

Bài 1: Cho$A(1,2,0)$,$B(2,3,-1)$,$C(0,-1,2)$. Tính$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$và $2\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC}$.

Bài 2: Cho$\boldsymbol{a} = (5, -2, 1)$và $\boldsymbol{b} = (3, 1, -4)$. Tìm tọa độ vectơ $\boldsymbol{c}$sao cho$2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} - \boldsymbol{c} = (7, -3, 8)$.

Bài 3: Cho$M(2,1,0)$và $N(0,4,-2)$. Hãy tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{MN}$và $-\overrightarrow{MN}$.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Ghi nhớ thứ tự phép trừ tọa độ khi xác định vectơ $\overrightarrow{AB}$: Luôn lấy tọa độ điểm B trừ điểm A.
• Kiểm tra số học kỹ lưỡng, đặc biệt dấu cộng/trừ trong tổng, hiệu.
• Sử dụng ký hiệu nhất quán để tránh nhầm lẫn giữa các vectơ.
• Đọc kỹ đề: Phân biệt yêu cầu tổng, hiệu, hay các kết hợp có hệ số.
• Kiểm tra lại kết quả bằng phép toán ngược hoặc so sánh trực quan trên hình vẽ (nếu có).

Kết luận

Biết cách giải bài toán biểu thức tọa độ của tổng và hiệu hai vectơ giúp học sinh xử lý nhanh, chính xác các bài toán về vectơ trong không gian. Thường xuyên luyện tập với bài kiểm tra thực hành và chú ý nguyên tắc tính toán sẽ giúp đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.