Chiến lược giải quyết bài toán Công thức xác suất toàn phần lớp 12: Hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa

1. Giới thiệu về Công thức xác suất toàn phần và ý nghĩa thực tế

Công thức xác suất toàn phần là một trong những kiến thức nền tảng quan trọng trong chương trình Toán xác suất và thống kê lớp 12. Nó giúp chúng ta tính xác suất của một biến cố bằng cách phân tích các trường hợp có thể xảy ra, đặc biệt khi biến cố tổng hợp này liên quan đến nhiều trường hợp phân biệt và không thể phân tích trực tiếp. Loại bài toán này không chỉ xuất hiện trong bài kiểm tra trên lớp mà còn thường xuyên đứng trong các đề thi THPT Quốc gia và nhiều tình huống thực tế khác như kiểm tra chất lượng sản phẩm, dự đoán sự kiện ngẫu nhiên, ... Bạn sẽ sử dụng công thức này cả trong các vấn đề về điều kiện, chuỗi sự kiện, hoặc các bài toán xác suất khó phân tích trực tiếp.

2. Đặc điểm của bài toán Công thức xác suất toàn phần

• Thường xuất hiện khi biến cố cần tính xác suất có thể xảy ra qua nhiều "đường đi", nhiều trường hợp, nhóm hoặc điều kiện khác nhau.
• Các nhóm hoặc trường hợp được phân chia phải tạo thành một hệ đầy đủ (tức là mọi khả năng đều được xét đến, không chồng lấn, không bỏ sót).
• Có liên quan chặt chẽ với xác suất có điều kiện. Thường đề sẽ cho xác suất của một biến cố phụ trợ và xác suất có điều kiện của biến cố chính theo biến cố phụ trợ.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận cách giải bài toán Công thức xác suất toàn phần

Dưới đây là các bước tổng quát mà các em nên áp dụng khi gặp dạng bài toán này:

• Phân tích bài toán, xác định biến cố cần tính xác suất lẫn các biến cố phân hoạch (nhóm/trường hợp/phụ trợ) liên quan.
• Kiểm tra xem các biến cố phụ trợ đã phân hoạch đầy đủ chưa.
• Ghi lại xác suất của mỗi biến cố phụ trợ và xác suất có điều kiện của biến cố đích đối với từng biến cố phụ trợ.
• Áp dụng công thức xác suất toàn phần để tổng hợp các xác suất lại.
• Kiểm tra lại kết quả bằng lý luận hoặc kiểm tra tổng xác suất không vượt quá 1.

4. Các bước giải bài toán xác suất toàn phần qua ví dụ minh họa

Ví dụ 1:Một lô hàng có 60% sản phẩm do nhà máy A sản xuất, 40% còn lại do nhà máy B. Tỷ lệ sản phẩm đạt chuẩn của nhà máy A là 90%, và của B là 80%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. Tính xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm đạt chuẩn.

Bước 1. Xác định các biến cố:

• Gọi$D$là biến cố "lấy được sản phẩm đạt chuẩn".
• Gọi$A$là biến cố "sản phẩm do nhà máy A sản xuất",$B$là biến cố "sản phẩm do nhà máy B sản xuất". Rõ ràng$A$và $B$là hai biến cố phân hoạch toàn bộ tập sản phẩm.

Bước 2. Viết các xác suất đã biết và xác suất có điều kiện:

• $P(A) = 0{,}6;\quad P(B) = 0{,}4$
• $P(D|A) = 0{,}9;\quad P(D|B) = 0{,}8$

Bước 3. Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$<br />P(D) = P(A) \cdot P(D|A) + P(B) \cdot P(D|B) = 0{,}6 \times 0{,}9 + 0{,}4 \times 0{,}8 = 0{,}54 + 0{,}32 = 0{,}86<br />$

Vậy xác suất lấy được sản phẩm đạt chuẩn là 0{,}86.

Bước 4. Kết luận và kiểm tra lại hợp lý.

Tổng các trường hợp là đầy đủ (A, B) không chồng lấn, các xác suất có điều kiện hợp lý, tổng xác suất không vượt quá 1.

5. Các công thức tổng quát và kỹ thuật căn bản

Công thức xác suất toàn phần khi phân hoạch thành$n$biến cố $A_1, A_2,..., A_n$:

$<br />P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + \cdot s + P(A_n)P(B|A_n) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i)P(B|A_i)<br />$

• Các$A_1, A_2,..., A_n$phải tạo thành một phân hoạch hoàn chỉnh (tức là:$igcup_{i=1}^n A_i = ext{Không gian mẫu}$và $A_i \cap A_j = \varnothing$nếu$i \neq j$)
• Xác suất toàn phần thường phối hợp với xác suất có điều kiện:$P(B|A_i)$
• Có thể sử dụng cùng lúc với công thức Bayes khi cần tính xác suất ngược.

6. Một số biến thể của bài toán và mẹo điều chỉnh chiến lược

Các bài toán xác suất toàn phần có nhiều biến thể như:

• Phân hoạch theo nguồn gốc (sản phẩm, học sinh, phòng học, ...)
• Phân hoạch theo lần thử (rút lần 1, lần 2, ... hoặc dựa vào quá trình diễn ra)
• Kết hợp với xác suất có điều kiện ngược (dạng công thức Bayes) khi đề bài hỏi xác suất thuộc về một nhóm dựa vào hiện tượng quan sát được sau cùng.
• Có thể cần vẽ sơ đồ cây để rõ lộ trình các trường hợp và xác suất.

Khi gặp biến thể mới, lưu ý phải xác định rõ "các trường hợp phân hoạch" và đảm bảo không bị trùng hoặc bỏ sót trường hợp.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết từng bước

Bài tập:Một trường có ba lớp: Lớp 12A có 30 học sinh, Lớp 12B có 40 học sinh, Lớp 12C có 50 học sinh. Tỷ lệ học sinh giỏi ở 12A là 20%, ở 12B là 25%, ở 12C là 10%. Chọn ngẫu nhiên một học sinh, tính xác suất chọn được học sinh giỏi.

Bước 1. Xác định phân hoạch:

• Chọn A: Học sinh thuộc 12A.
• Chọn B: Học sinh thuộc 12B.
• Chọn C: Học sinh thuộc 12C.

Tổng số học sinh:$N=30+40+50=120$.

Bước 2. Viết các xác suất đã biết:

• $P(A)=\frac{30}{120}=0{,}25$
• $P(B)=\frac{40}{120}=0{,}333$
• $P(C)=\frac{50}{120}=0{,}417$
• $P(G|A)=0{,}2$,$P(G|B)=0{,}25$,$P(G|C)=0{,}1$

Bước 3. Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

$P(G)$= P(A)P(G|A) + P(B)P(G|B) + P(C)P(G|C) = 0{,}25$\times$0{,}2 + 0{,}333$\times$0{,}25 + 0{,}417$\times$0{,}1 = 0{,}05+0{,}083+0{,}0417$\approx$0{,}175.

Vậy xác suất chọn được học sinh giỏi là khoảng 0,175.

8. Bài tập thực hành: Tự luyện tập cách giải bài toán Công thức xác suất toàn phần

• Một cửa hàng lấy bánh từ ba lò: Lò X chiếm 50%, Lò Y 30%, Lò Z 20%. Tỷ lệ bánh đạt chuẩn ở X là 95%, ở Y là 90% và ở Z là 85%. Lấy ngẫu nhiên một chiếc bánh, tính xác suất nó đạt chuẩn.
• Một lớp có nam và nữ. Nam chiếm 40%, nữ chiếm 60%. Xác suất nam đi học đúng giờ là 80%, nữ là 90%. Chọn ngẫu nhiên một học sinh đi học đúng giờ, xác suất học sinh đó là nữ?
• Một túi có 2 bi đỏ, 3 bi xanh, 5 bi vàng. Rút ngẫu nhiên một viên bi từ túi. Sau đó, nếu là bi vàng thì cho lại vào túi 1 bi vàng rồi rút lần 2, nếu là bi đỏ/bi xanh vẫn để nguyên túi rồi rút tiếp lần 2. Tính xác suất rút lần thứ hai được bi vàng.

9. Mẹo và lưu ý: Tránh những sai lầm phổ biến

• Luôn kiểm tra tính phân hoạch: Các trường hợp đã bao phủ toàn bộ khả năng chưa, có trùng lặp không?
• Ghi chính xác xác suất có điều kiện và xác suất các nhóm/trường hợp/biến cố phụ trợ.
• Khi đề xuất hiện chữ "ngẫu nhiên lấy từ..." hãy nghĩ đến phân hoạch theo nguồn gốc.
• Vẽ sơ đồ cây để trực quan hóa các trường hợp phức tạp hoặc khi có nhiều bước.
• Đọc kỹ đề, phân tích rõ biến cố cần tính và đường đi xác suất.
• Trong bài tập ngược (tính xác suất thuộc nhóm dựa trên kết quả), nên áp dụng kết hợp xác suất toàn phần và công thức Bayes.