Chiến lược giải quyết bài toán cuối chương II Toán 12: Vectơ và Hệ tọa độ trong không gian

1. Giới thiệu về bài toán cuối chương II Toán 12 và vai trò quan trọng

Bài tập cuối chương II của Toán 12 thường là những bài tổng hợp kiến thức về vectơ, hệ tọa độ trong không gian và các bài toán hình học liên quan đến điểm, đường thẳng, mặt phẳng. Những bài toán này không chỉ giúp học sinh hệ thống lại kiến thức mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề, chuẩn bị tốt cho kỳ thi THPT Quốc gia cũng như các bài kiểm tra học kì quan trọng.

2. Phân tích đặc điểm của các bài toán cuối chương II

Các bài tập cuối chương II đa phần là bài toán tổng hợp, đòi hỏi học sinh vận dụng kiến thức về:

• Vectơ và các phép toán với vectơ (cộng, trừ, nhân với số, tích vô hướng, tích có hướng).
• Hệ tọa độ trong không gian: tìm tọa độ điểm, vectơ, hình chiếu, khoảng cách, góc,…
• Phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng và các bài toán liên quan.

Những bài toán này thường yêu cầu lập luận logic, trình bày chặt chẽ và khả năng vận dụng đồng thời nhiều kỹ năng.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để giải tốt các bài toán này, bạn cần tuân thủ một số nguyên tắc chiến lược:

• Đọc kỹ đề, phân tích yêu cầu, xác định rõ các dữ kiện đã cho và cần tìm.
• Vẽ hình minh họa nếu có thể, chú thích đầy đủ tọa độ, vectơ.
• Xác định kiến thức và công thức bạn cần sử dụng: hệ thức khoảng cách, góc, tích vô hướng, phương trình mặt phẳng,…
• Phân chia bài toán thành các bước nhỏ, giải từng bước một cách cẩn thận.
• Kiểm tra lại các bước, đảm bảo chính xác và hợp lý.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Chúng ta sẽ đi qua một ví dụ cụ thể với từng bước giải chi tiết. Ví dụ dưới đây là một dạng điển hình trong các bài tập cuối chương II lớp 12.

Ví dụ minh họa

Cho các điểm$A(1;2;3)$,$B(4;-1;2)$,$C(0;3;5)$trong không gian$Oxyz$. Tính độ dài đoạn$AB$, phương trình mặt phẳng$(ABC)$và khoảng cách từ điểm$D(2;1;1)$ đến mặt phẳng$(ABC)$.

Bước 1: Tính độ dài đoạn$AB$

Công thức tính độ dài đoạn thẳng$AB$:

$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$

Thay số:

$|AB| = \sqrt{(4-1)^2 + ((-1)-2)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{9 + 9 + 1}=\sqrt{19}$

Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng$(ABC)$

Gọi

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng$(ABC)$là $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$:

Tính:

- Thành phần$x$:$(-3) \times 2 - (-1) \times 1 = -6 + 1 = -5$
- Thành phần$y$:$-((3) \times 2 - (-1) \times (-1)) = -(6 - 1) = -5$
- Thành phần$z$:$(3) \times 1 - ((-3) \times (-1)) = 3 - 3 = 0$

Vậy$\vec{n}=(-5;-5;0)$

Mặt phẳng$(ABC)$ đi qua$A(1;2;3)$, có vectơ pháp tuyến$(-5;-5;0)$:

$-5(x-1) -5(y-2) + 0(z-3) = 0 \Longleftrightarrow x + y = 3$

Bước 3: Tìm khoảng cách từ điểm$D(2;1;1)$ đến mặt phẳng$(ABC)$

Gọi phương trình mặt phẳng vừa tìm được:$x + y - 3 = 0$.

Công thức khoảng cách từ điểm$M(x_0;y_0;z_0)$ đến mặt phẳng$Ax + By + Cz + D = 0$là:

$d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Ở đây:$A=1, B=1, C=0, D=-3$,$M(2;1;1)$

$d = \frac{|1 \times 2 + 1 \times 1 + 0 \times 1 - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{|2+1-3|}{\sqrt{2}}=0$

Vậy điểm$D$nằm trên mặt phẳng$(ABC)$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức độ dài đoạn thẳng: $|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$
• Phương trình mặt phẳng qua điểm$A(x_0;y_0;z_0)$có vectơ pháp tuyến$(a;b;c)$:$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$
• Vectơ pháp tuyến mặt phẳng qua ba điểm:
  $$\\vec{n} = \\vec{AB} \times \\vec{AC}$$
  .
• Khoảng cách từ điểm $M(x_0;y_0;z_0)$ đến mặt phẳng$Ax+By+Cz+D=0$: $d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Các dạng bài toán cuối chương II có thể biến đổi, ví dụ:

• Tìm giao tuyến hai mặt phẳng.
• Tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm và vuông góc/một góc với mặt phẳng cho trước.
• Tính khoảng cách giữa hai điểm, giữa điểm và đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng,…
• Lập phương trình mặt phẳng (hoặc đường thẳng) thỏa mãn một số điều kiện hình học đặc biệt.

Khi gặp các biến thể này, hãy chú ý xác định rõ điều kiện đặc biệt, dùng các phép toán hình học thích hợp, và kiểm tra từng bước để tránh nhầm lẫn.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập: Cho các điểm$A(1;2;-1)$;B(3;-2;4);C(2;3;0). Tìm phương trình mặt phẳng$(P)$ đi qua ba điểm này và tính khoảng cách từ điểm$M(0;1;1)$ đến mặt phẳng$(P)$.

Lời giải

Bước 1: Tìm

Bước 2: Tìm vectơ pháp tuyến

-$x = (-4)\times 1 - 5 \times 1 = -4 - 5 = -9$
-$y = -(2 \times 1 - 5 \times 1) = -(2-5) = 3$
-$z = 2 \times 1 -(-4) \times 1 = 2+4 = 6$

Vậy

Bước 3: Viết pttq mặt phẳng$(P)$(qua$A(1;2;-1)$):$-9(x-1)+3(y-2)+6(z+1)=0 \Longleftrightarrow -9x+3y+6z+12=0$

Bước 4: Khoảng cách từ $M(0;1;1)$ đến mặt phẳng$(P)$:

$d=\frac{|-9 \times 0 + 3 \times 1 + 6 \times 1 + 12|}{\sqrt{(-9)^2 + 3^2 + 6^2}} = \frac{|3+6+12|}{\sqrt{81+9+36}}=\frac{21}{\sqrt{126}}=\frac{21}{\sqrt{126}}$

Rút gọn: $\sqrt{126} = \sqrt{9 \times 14} = 3\sqrt{14}$

Vậy đáp số: $d = \frac{21}{3\sqrt{14}} = \frac{7}{\sqrt{14}}$

8. Bài tập thực hành tự luyện

1. Cho các điểm$A(2;1;0)$,$B(0;3;2)$,$C(1;2;3)$. Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm đó.
2. Tìm độ dài đoạn$AB$khi$A(-1;0;1)$,$B(2;3;-2)$.
3. Cho mặt phẳng$(P): 2x-y+z-4=0$và điểm$M(1;2;3)$. Tính khoảng cách từ $M$ đến$(P)$.
4. Cho hai mặt phẳng$(P): x+2y-z+1=0$,$(Q): 2x-y+4z-5=0$. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

9. Các mẹo và lưu ý để tránh sai lầm

• Luôn kiểm tra lại phép tính và dấu của vectơ, thành phần tọa độ.
• Ghi nhớ kỹ các công thức khoảng cách, góc, phương trình mặt phẳng/đường thẳng.
• Phân tích kỹ bài toán, vạch rõ dữ kiện đã cho và logic giải từng phần.
• Vẽ hình minh họa giúp dễ hình dung và tránh sai lầm ở các bài toán hình học không gian.

Hy vọng với hướng dẫn này, bạn sẽ tự tin hơn khi tiếp cận và giải quyết các bài toán cuối chương II Toán 12 về vectơ và hệ tọa độ trong không gian. Chúc bạn học tốt!