Chiến lược giải quyết bài toán Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm – Toán 12

1. Giới thiệu về bài toán độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Trong chương trình Toán lớp 12, chuyên đề về các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm, đặc biệt là độ lệch chuẩn, đóng vai trò quan trọng trong thống kê. Bài toán xác định độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm không chỉ rèn luyện kỹ năng thao tác số liệu mà còn giúp hiểu sâu về bản chất biến thiên của dữ liệu.

2. Đặc điểm của bài toán độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Các bài toán này có một số đặc điểm nổi bật:

• Dữ liệu đã được chia thành các lớp (nhóm), mỗi lớp có tần số (số lượng phần tử ở mỗi nhóm).
• Không biết giá trị cụ thể của từng phần tử, chỉ biết giới hạn lớp và tần số.
• Bắt buộc sử dụng giá trị giữa của mỗi lớp (trung điểm lớp) để tính toán.

3. Chiến lược tổng thể giải bài toán

Để giải quyết bài toán độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, học sinh cần tuần tự thực hiện các bước sau:

1. Xác định trung điểm các lớp (giá trị đại diện cho mỗi nhóm).
2. Tính tổng tần số.
3. Tính giá trị trung bình mẫu ($\bar{x}$) bằng công thức:
4. Tính tổng$(m_i - \bar{x})^2$nhân với tần số $n_i$cho mỗi lớp ($m_i$là trung điểm lớp,$n_i$là tần số).
5. Áp dụng công thức độ lệch chuẩn mẫu ghép nhóm.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Giả sử bảng số liệu ghép nhóm như sau:

Bảng tần số:

| Lớp       
Tần số
10-20
5      |
| 20-30     | 8      |
| 30-40     | 12     |
| 40-50     | 7      |

Bước 1: Xác định trung điểm lớp ($m_i$) - Lớp 10-20:$m_1 = \frac{10 + 20}{2} = 15$- Lớp 20-30:$m_2 = \frac{20 + 30}{2} = 25$- Lớp 30-40:$m_3 = \frac{30 + 40}{2} = 35$- Lớp 40-50:$m_4 = \frac{40 + 50}{2} = 45$

Bước 2: Tổng tần số ($n$): n = 5 + 8 + 12 + 7 = 32

Bước 3: Tính giá trị trung bình mẫu ($\bar{x}$):

$\bar{x} = \frac{\sum n_i m_i}{n} = \frac{5 \cdot 15 + 8 \cdot 25 + 12 \cdot 35 + 7 \cdot 45}{32}$

$= \frac{75 + 200 + 420 + 315}{32} = \frac{1010}{32} \approx 31,56$

Bước 4: Tính $\sum n_i (m_i - \bar{x})^2$: Tính từng giá trị: - Lớp 1: $n_1 = 5$, $m_1 = 15$, $n_1 (m_1 - \bar{x})^2 = 5 (15 - 31,56)^2 = 5 9{(-16,56)^2} \approx 5 \times 274.32 = 1371.6$- Lớp 2:$n_2 = 8$, $m_2 = 25$, $8 9{(25 - 31,56)^2} = 8 9{(-6,56)^2} \approx 8 \times 43.04 = 344.3$- Lớp 3:$n_3 = 12$, $m_3 = 35$, $12 9{(35-31,56)^2} = 12 9{(3,44)^2} \approx 12 \times 11.83 = 141.96$- Lớp 4:$n_4 = 7$, $m_4 = 45$, $7 9{(45-31,56)^2} = 7 9{(13,44)^2} \approx 7 \times 180.76 = 1265.32$Cộng lại:$\sum$n_i$(m_i - \bar{x})$^2 $\approx$ 1371.6 + 344.3 + 141.96 + 1265.32 = 3123.18

Bước 5: Tính độ lệch chuẩn mẫu ($s$):

$s = \sqrt{\frac{\sum n_i (m_i - \bar{x})^2}{n-1}} = \sqrt{\frac{3123.18}{31}} \approx \sqrt{100.74} \approx 10.04$

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

Công thức tổng quát tính độ lệch chuẩn mẫu số liệu ghép nhóm:

$s = \sqrt{\frac{\sum n_i (m_i - \bar{x})^2}{n-1}}$
Trong đó: 
- $n_i$: Tần số của lớp thứ $i$
- $m_i$: Trung điểm lớp thứ $i$
- $n$: Tổng tần số
- $\bar{x}$: Giá trị trung bình mẫu

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Một số biến thể có thể gặp:

• Yêu cầu tính phương sai thay cho độ lệch chuẩn (bỏ căn bậc hai ở cuối).
• Số liệu chưa cho sẵn trung điểm mà chỉ có giới hạn lớp: Cần tự tính trung điểm trước.
• Dữ liệu yêu cầu tính cho toàn bộ tập hợp (tổng thể) thì mẫu số ở mẫu là $n$thay vì $n-1$.

Luôn đọc kỹ đề bài để biết tính cho mẫu hay tổng thể, xác định đúng trung điểm và áp dụng đúng công thức!

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập: Cho bảng số liệu ghép nhóm sau:

| Lớp    
Tần số
50-60
3    |
| 60-70  |   7    |
| 70-80  |  15    |
| 80-90  |   5    |

Hãy tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

Giải:
Bước 1: Trung điểm:
- 50-60:$m_1 = 55$
- 60-70:$m_2 = 65$
- 70-80:$m_3 = 75$
- 80-90:$m_4 = 85$

Bước 2: Tổng tần số $n = 3 + 7 + 15 + 5 = 30$

Bước 3: Giá trị trung bình mẫu:

$\bar{x} = \frac{3 \cdot 55 + 7 \cdot 65 + 15 \cdot 75 + 5 \cdot 85}{30} = \frac{165 + 455 + 1125 + 425}{30} = \frac{2170}{30} \approx 72.33$

Bước 4: $\sum n_i(m_i - \bar{x})^2$- Lớp 1:$3 (55 - 72.33)^2 = 3(-17.33)^2 \approx 3 \times 300.36 = 901.08$- Lớp 2:$7 (65 - 72.33)^2 = 7(-7.33)^2 \approx 7 \times 53.73 = 376.11$- Lớp 3:$15 (75 - 72.33)^2 = 15(2.67)^2 \approx 15 \times 7.13 = 106.95$- Lớp 4:$5 (85 - 72.33)^2 = 5(12.67)^2 \approx 5 \times 160.6 = 803.00$Tổng cộng:$901.08 + 376.11 + 106.95 + 803.00 = 2187.14$

Bước 5: Độ lệch chuẩn mẫu ($s$):

$s = \sqrt{\frac{2187.14}{29}} \approx \sqrt{75.42} \approx 8.69$

8. Bài tập thực hành

Học sinh tự giải các bài sau:

• Bài 1: Cho bảng số liệu ghép nhóm:
  | Lớp | Tần số |
  | 10-15 | 2 |
  | 15-20 | 5 |
  | 20-25 | 9 |
  | 25-30 | 4 |
  Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu.
• Bài 2: Cho bảng số liệu:
  | 30-40 | 4 |
  | 40-50 | 9 |
  | 50-60 | 11 |
  | 60-70 | 6 |
  | 70-80 | 3 |
  Tính độ lệch chuẩn.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm

• Luôn xác định đúng trung điểm lớp, không lấy giới hạn dưới hoặc trên.
• Kiểm tra lại tổng tần số, không bỏ sót nhóm nào.
• Sử dụng đúng mẫu số ($n-1$cho mẫu,$n$cho tổng thể).
• Thành thạo các phép nhân, trừ, bình phương khi tính mỹ số.
• Làm rõ từng bước, không nhảy bước để tránh thiếu sót hoặc sai sót khi nhập số liệu.

Tóm tắt lại chiến lược cách giải bài toán độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm:

1. Tính trung điểm lớp.
2. Tính tổng tần số.
3. Tính giá trị trung bình mẫu.
4. Tính tổng$n_i (m_i - \bar{x})^2$.
5. Áp dụng công thức tính độ lệch chuẩn mẫu.