Chiến lược giải quyết bài toán Hàm bậc ba: y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0) - Hướng dẫn chi tiết cho lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán hàm bậc ba và tầm quan trọng

Bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba dạng$y = ax^3 + bx^2 + cx + d$với$a ≠ 0$là một chủ đề trọng tâm trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững "cách giải bài toán Hàm bậc ba: y = ax^3 + bx^2 + cx + d (a ≠ 0)" giúp học sinh không chỉ giải đúng bài tập mà còn hiểu sâu về bản chất hàm số, ứng dụng trong các tình huống thực tế và các đề thi quan trọng như thi THPT Quốc gia. Các kỹ năng này còn góp phần phát triển tư duy logic và kỹ thuật giải quyết vấn đề.

2. Đặc điểm bài toán Hàm bậc ba

• Bậc của hàm số là 3, nên đồ thị có dạng một đường cong duy nhất, có 1 trục đối xứng, và có thể có tối đa 2 điểm uốn hoặc 1 điểm uốn.
• Hàm có thể đồng biến trên từng khoảng và đổi chiều tại các điểm cực trị.
• Có thể có 1 hoặc 2 cực trị (một cực đại và một cực tiểu) hoặc không có cực trị thực.
• Có đúng một điểm uốn, điểm mà tại đó đồ thị đổi từ lõm lên sang lõm xuống hoặc ngược lại.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để giải quyết hiệu quả các bài toán liên quan đến hàm bậc ba, học sinh nên thực hiện theo các bước tuần tự:

1. Xác định tập xác định và tính chất cơ bản của hàm số.
2. Tính đạo hàm và xét dấu đạo hàm để xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị.
3. Tìm điểm uốn bằng đạo hàm bậc hai.
4. Tìm giao điểm với các trục tọa độ (xác định điểm cắt trục OX và OY).
5. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Xét ví dụ: Cho hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$.

Bước 1: Xác định tập xác định & các tính chất cơ bản

Hàm xác định với mọi$x \in \mathbb{R}$.

Bước 2: Tính đạo hàm và xét dấu đạo hàm

Tính đạo hàm của hàm số:

$y' = 3x^2 - 6x$

Giải phương trình$y' = 0$ để tìm các điểm cực trị:

$3x^2 - 6x = 0 \Leftrightarrow 3x(x-2) = 0 \Leftrightarrow x=0$hoặc$x=2$

Suy ra có 2 điểm cực trị tại$x=0$và $x=2$.

Lập bảng xét dấu đạo hàm để tìm các khoảng đồng biến - nghịch biến.

Xét dấu

Vậy hàm số đồng biến trên$(-\infty; 0)$và $(2; +\infty)$, nghịch biến trên$(0;2)$.

Bước 3: Tìm các điểm cực trị và giá trị tương ứng

Tính giá trị hàm số tại$x=0: y(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 2 = 2$

Tính giá trị hàm số tại$x=2: y(2) = 8 - 12 + 2 = -2$

Bước 4: Xác định điểm uốn

Đạo hàm bậc hai:$y'' = 6x - 6$. Điểm uốn là nghiệm của$y''=0 \Leftrightarrow 6x-6=0 \Leftrightarrow x=1$.

Tính$y(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$.

Vậy điểm uốn là $(1;0)$.

Bước 5: Tìm giao điểm với các trục toạ độ

Giao với trục $Oy$tại$x=0$là $(0,2)$. Giao với trục $Ox$giải phương trình$x^3 - 3x^2 + 2 = 0 \Leftrightarrow (x-1)(x^2-2x-2)=0$. Ta có nghiệm $x=1$và giải tiếp$x^2-2x-2=0 \Rightarrow x=1 \pm \sqrt{3}$.

Bước 6: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị

Từ các kết quả trên, học sinh lập bảng biến thiên trình bày rõ các khoảng đồng biến/nghịch biến, điểm cực trị, điểm uốn, các giá trị tương ứng, sau đó phác hoạ đồ thị.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Đạo hàm:$y' = 3ax^2 + 2bx + c$và $y'' = 6ax + 2b$
• Cực trị: Nghiệm của$y' = 0$
• Điểm uốn: Nghiệm của$y''=0$
• Giao OX:$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$
• Giao OY: tại$x=0$, nên$y(0)=d$

6. Các biến thể và cách điều chỉnh chiến lược

Có hai biến thể chính: Hàm số có hoặc không có cực trị (nếu phương trình$y'=0$có nghiệm thực hay không). Đối với bài toán khảo sát trên đoạn, chú ý kiểm tra giá trị tại các điểm biên. Nếu hàm cần tìm tham số để thỏa mãn điều kiện cho trước, hãy liên hệ các yếu tố liên quan (số cực trị, điểm uốn, giao điểm, giá trị lớn nhất/nhỏ nhất...).

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = 2x^3 - 3x^2 - 12x +1$.

Lời giải:

1. Tập xác định:$D = \mathbb{R}$.
2. Đạo hàm:$y' = 6x^2 - 6x -12$. Giải$y' = 0 \Leftrightarrow 6x^2 - 6x - 12 = 0 \Leftrightarrow x^2 - x -2 = 0 \Leftrightarrow x=2$hoặc$x=-1$.
3. Các điểm cực trị:$x=-1$và $x=2$, giá trị hàm:
   $y(-1)=2(-1)^3 -3(-1)^2-12(-1)+1 = -2-3+12+1=8$;
   $y(2)=2 \cdot 8-3 \cdot 4-12 \cdot 2+1=16-12-24+1=-19$.
4. Điểm uốn:$y'' = 12x - 6$.$y''=0 \Leftrightarrow 12x-6=0 \Leftrightarrow x=0.5$,$y(0.5)=2 \cdot (0.125)-3 \cdot (0.25)-12 \cdot 0.5 +1=0.25-0.75-6+1=-5.5$
5. Giao trục Oy:$(0,1)$. Giao trục Ox: giải$2x^3-3x^2-12x+1=0$(có thể dùng phương pháp thử nghiệm nghiệm hoặc công thức Cardano).

8. Bài tập thực hành cho học sinh tự làm

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = x^3 - 2x^2 - 3x + 1$.
2. Xác định số cực trị, điểm uốn của hàm$y= -x^3 + 6x^2 -12x + 8$.
3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $y= 4x^3 + 12x^2 - 5x + 7$trên đoạn$[0; 1]$.

9. Mẹo và lưu ý khi giải bài toán hàm bậc ba

• Chú ý kiểm tra kỹ dấu của hệ số $a$ để phán đoán xu hướng đồ thị (nếu$a>0$, tay phải hướng lên;$a<0$, tay phải hướng xuống).
• Luôn tính đủ đạo hàm cấp 1 và cấp 2.
• Cân nhắc phương pháp phân tích nghiệm khi giải phương trình bậc ba cắt trục OX.
• Đừng quên đánh dấu đầy đủ các điểm đặc biệt (cực trị, điểm uốn, giao trục) khi vẽ đồ thị.
• Luôn soát lại kết quả bằng bảng biến thiên.