1. Giới thiệu về bài toán hàm chẵn và tầm quan trọng trong Toán 12

Hàm chẵn là một chủ đề cơ bản và thường gặp trong chương trình Toán lớp 12, đặc biệt trong chuyên đề khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Việc nắm vững kiến thức về hàm chẵn giúp học sinh giải quyết hiệu quả nhiều bài toán hình học, đại số cũng như rèn luyện kỹ năng chứng minh và phân tích hàm số. Bên cạnh đó, kiến thức về hàm chẵn còn là nền tảng quan trọng cho những nội dung nâng cao hơn ở các kỳ thi đại học, olympic.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán về hàm chẵn

Định nghĩa: Một hàm số $f(x)$ được gọi là hàm chẵn trên tập xác định$D$nếu với mọi$x \ \in D$, ta luôn có $-x \ \in D$và $f(-x) = f(x)$. Đặc điểm nổi bật của hàm chẵn là đồ thị của nó đối xứng qua trục tung ($Oy$). Việc nhận biết hàm chẵn sẽ giúp đơn giản hóa quá trình khảo sát, vẽ đồ thị, tính tích phân cũng như giải các phương trình, bất phương trình liên quan.

• Tập xác định đối xứng qua gốc tọa độ (nếu$x$thuộc$D$thì $-x$cũng thuộc$D$).
• Công thức nhận biết:$f(-x) = f(x), \forall x \ \in D$.
• Đồ thị đối xứng qua trục$Oy$.
• Thường kết hợp với hàm lẻ, bài toán kết hợp đối xứng, hoặc phân tích tổng, tích các hàm số.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán hàm chẵn

Khi gặp bài toán về hàm chẵn, bạn nên vận dụng một lộ trình tư duy hiệu quả như sau:

• Xác định rõ tập xác định, kiểm tra tính đối xứng.
• Áp dụng định nghĩa: Thay$x$bằng$-x$, so sánh$f(-x)$với$f(x)$.
• Khai thác tính đối xứng để rút gọn biểu thức (trong bài tích phân, tổng, phương trình).
• Phân tích hệ quả: Đồ thị đối xứng qua$Oy$, nghiệm đối nhau, các đặc điểm đỉnh, cực trị,...
• Xét thêm mối liên hệ với hàm lẻ, tính chất tổng, tích.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Dưới đây là hướng dẫn từng bước với ví dụ cụ thể:

Ví dụ 1: Xét hàm số $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$trên$\boldsymbol{\mathbb{R}}$. Hỏi hàm số này có chẵn không?

B1. Tập xác định$D = \mathbb{R}$(không có điều kiện gì đặc biệt).

B2.$f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 3 = x^4 - 2x^2 + 3 = f(x)$.

B3.$f(-x) = f(x) \Rightarrow$Hàm số là hàm chẵn.

Ví dụ 2: Vận dụng tính chẵn để rút gọn tích phân:
Tính$I = \int_{-3}^{3} (x^2 + 1) dx$

Nhận xét:$g(x) = x^2 + 1$là hàm chẵn vì $g(-x) = (-x)^2 + 1 = x^2 + 1 = g(x)$.

Do đó:

$I = 2\int_0^3 (x^2 + 1)dx$

$= 2\left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_0^3 = 2 \left( \frac{27}{3} + 3 - 0 \right) = 2 \times (9 + 3) = 24$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức nhận diện:$f(-x) = f(x)$.
• Tích phân: Nếu$f(x)$là hàm chẵn trên$[-a;a]$thì

$\int_{-a}^{a} f(x)dx = 2 \int_0^a f(x)dx$

• Phương trình: Hàm chẵn có nghiệm đối xứng qua gốc$x=0$(nếu$x_0$là nghiệm thì $-x_0$cũng là nghiệm).
• Đồ thị: Luôn đối xứng qua trục$Oy$.
• Tổng, tích hàm số: Tổng hai hàm chẵn vẫn là hàm chẵn; tích hai hàm chẵn cũng vậy.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Các bài toán về hàm chẵn cũng có nhiều biến thể khác nhau:

• Kết hợp hàm chẵn và hàm lẻ: Kiểm tra từng thành phần khi biểu thức phức tạp.
• Phương trình, bất phương trình chứa tham số liên quan đến hàm chẵn: Thường khai thác nghiệm đối xứng.
• Bài tích phân, tổng liên quan đến hàm chẵn: Rút gọn tích phân, tổng nhờ tính chất đối xứng.
• Bài toán đồ thị hàm số: Tận dụng tính đối xứng khi vẽ đồ thị hoặc phân tích số nghiệm.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài mẫu 1: Xét hàm số $f(x) = \cos 2x$trên$\mathbb{R}$. Hãy xác định tính chẵn, lẻ của hàm số và vẽ phác đồ thị.

Giải:

B1. Tập xác định$D = \mathbb{R}$

B2. Xét$f(-x) = \cos 2(-x) = \cos(-2x) = \cos 2x = f(x)$

Vậy$f(x)$là hàm chẵn.

B3. Đồ thị đối xứng qua trục$Oy$, hình dạng giống đồ thị $y = \cos 2x$, chu kỳ $\pi$.

Bài mẫu 2: Tìm các nghiệm thực của phương trình$x^4 - 10x^2 + 9 = 0$.

Giải:
Chú ý đây là hàm chẵn nên các nghiệm sẽ đối nhau qua$x=0$.
Đặt$y = x^2$($y \geq 0$)
$\Rightarrow y^2 - 10y + 9 = 0$
Giải phương trình này:$y_1 = 1, y_2 = 9$(cả 2 đều$\geq 0$).
Suy ra$x^2 = 1 \Rightarrow x=1, x=-1$
$x^2 = 9 \Rightarrow x=3, x=-3$
Vậy có 4 nghiệm thực:$x=1,-1,3,-3$ đối xứng qua$0$.

8. Bài tập thực hành (tự luyện)

Hãy tự luyện tập với các bài sau:
(a) Kiểm tra và chứng minh tính chẵn, lẻ của các hàm sau:
i)$f(x) = x^6 - 2x^4 + 5$trên$\mathbb{R}$
ii)$g(x) = \tan x$trên$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
iii)$h(x) = e^{x} + e^{-x}$trên$\mathbb{R}$

(b) Sử dụng tính chẵn để rút gọn giá trị biểu thức, tích phân:
i)$I = \int_{-2}^2 (x^4 + 2) dx$
ii)$J = \int_{-1}^{1} x^5 dx$

(c) Tìm nghiệm của phương trình bằng cách tận dụng đối xứng của hàm chẵn:
i)$x^4 - 8x^2 + 7 = 0$
ii)$\cos x = 0.5$trên$[-\pi; \pi]$

9. Mẹo, lưu ý và những sai lầm hay gặp

• Luôn kiểm tra kỹ bộ tập xác định trước khi kết luận hàm chẵn.
• Chỉ cần chứng minh$f(-x) = f(x)$trên tập xác định.
• Không nhầm lẫn với hàm lẻ ($f(-x) = -f(x)$).
• Đồ thị hàm chẵn luôn đối xứng trục$Oy$dù hàm có liên tục hay không.
• Khai thác tính đối xứng để rút gọn tích phân, tìm nghiệm, vẽ đồ thị hiệu quả.
• Với các biểu thức có dạng tổng, tích nhiều hàm, kiểm tra chẵn/lẻ của từng thành phần.