Chiến lược giải quyết bài toán hàm chi phí cho học sinh lớp 12: Hướng dẫn chi tiết

1. Giới thiệu bài toán hàm chi phí và tầm quan trọng

Bài toán về hàm chi phí là loại toán thường gặp trong chương trình Toán 12 và các kỳ thi THPT Quốc gia. Đây là dạng toán ứng dụng trong thực tiễn, giúp HS hiểu rõ về tối ưu hóa – tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của các đại lượng như chi phí, lợi nhuận, diện tích, thể tích... Việc thành thạo cách giải bài toán hàm chi phí giúp HS nhanh chóng xác định cách tiếp cận bài toán tối ưu trong thực tế và rèn luyện tư duy lôgíc.

2. Đặc điểm của bài toán hàm chi phí

Để nhận diện loại bài này, hãy chú ý các điểm sau:

• Bài toán có liên quan trực tiếp đến một hàm số (gọi là hàm chi phí $C(x)$, có thể là lượng nguyên liệu, tiền bạc, thời gian...) cần tối thiểu hóa hoặc tối đa hóa.
• Có thể kết hợp từ 2 hoặc nhiều đại lượng liên quan vật lý hoặc thực tế, ràng buộc nhau qua các điều kiện (thường là tổng, hiệu, tích...).
• Đầu bài cho các điều kiện, yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất/lớn nhất của chi phí (hay các đại lượng khác).
• Kỹ năng mô hình hóa bài toán là yếu tố mấu chốt.

3. Chiến lược tổng thể để giải bài toán hàm chi phí

Để giải tốt bài toán hàm chi phí, học sinh nên thực hiện tuần tự các bước chiến lược:

1. Phân tích và tóm tắt các đại lượng, điều kiện cho trước.
2. Biểu diễn hàm chi phí $C$theo một biến số duy nhất (thường là $x$).
3. Xác định miền xác định của biến, xét các ràng buộc.
4. Tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm$C(x)$trên miền xác định (bằng đạo hàm, xét dấu, hoặc thử các giá trị biên).
5. Kết luận và trả lời đúng yêu cầu bài toán.

4. Các bước giải chi tiết một bài toán hàm chi phí (có ví dụ minh họa)

Ví dụ minh họa:

Một xưởng sản xuất dự định làm một chiếc hộp chữ nhật (không nắp) có thể tích $36\ \, \text{dm}^3$ . Giá thành làm đáy là $3000\ \text{đồng}/\text{dm}^2$ và làm thành (xung quanh) là $2000\ \text{đồng}/\text{dm}^2$ . Hỏi kích thước đáy và chiều cao của hộp sao cho tổng chi phí nguyên liệu là ít nhất? Tính chi phí ít nhất đó.

Giải từng bước:

1. Gọi$x$và $y$(dm) là chiều dài và chiều rộng đáy,$h$(dm) là chiều cao. Ta cần tối thiểu hóa chi phí $C$.
2. Thể tích hộp:$V = x \cdot y \cdot h = 36$
3. Diện tích đáy: $S_\text{đáy} = x \cdot y$ ; diện tích xung quanh: $S_xq = 2h(x + y)$
4. Chi phí:$C = 3000xy + 2000 \cdot 2h(x+y) = 3000xy + 4000h(x+y)$
5. Từ $xyh = 36 \implies h = \dfrac{36}{xy}$
6. Thay$h$vào$C$:$C(x,y) = 3000xy + 4000\dfrac{36}{xy}(x+y)$
7. Để bài toán chỉ còn một biến, giả sử đáy hình vuông:$x = y$(thường bài toán sẽ cho giả thiết, nếu không giả thiết thì dùng hai biến, hoặc xét trường hợp tốt nhất là hình vuông).
8. Khi$x = y$,$xy = x^2$,$h = \dfrac{36}{x^2}$,$C(x) = 3000x^2 + 4000\dfrac{36}{x^2}(2x) = 3000x^2 + 8000\dfrac{36x}{x^2} = 3000x^2 + 288000\dfrac{1}{x}$
9. Tìm$x > 0$để$C(x)$nhỏ nhất:
10. Lấy đạo hàm$C'(x) = 6000x - 288000x^{-2}$, giải$C'(x) = 0$
11. $6000x - 288000x^{-2} = 0 \implies 6000x = 288000x^{-2} \implies 6000x^3 = 288000 \implies x^3 = 48 \implies x =\sqrt[3]{48} \approx 3.634$ (dm)
12. Với$x = y \approx 3.634$,$h = \dfrac{36}{x^2} \approx \dfrac{36}{13.21} \approx 2.725$(dm)
13. Chi phí ít nhất:$C_{\min} = 3000 \cdot x^2 + 288000\dfrac{1}{x} \approx 3000 \cdot 13.21 + 288000/3.634 \approx 39630 + 79273 \approx 118903$(đồng)

Kết luận: Đáy là hình vuông cạnh xấp xỉ $3,634$dm, chiều cao khoảng$2,725$dm. Chi phí ít nhất là khoảng$118.903$ đồng.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Diện tích, thể tích các hình cơ bản.
• Công thức chi phí tổng hợp: Tổng chi phí $C$= tổng diện tích từng phần x giá thành mỗi phần.
• Ràng buộc: thường là tích hoặc tổng các đại lượng, dùng để biểu diễn các biến theo biến còn lại.
• Tìm giá trị cực trị: Sử dụng đạo hàm$C'(x)$, giải$C'(x) = 0$và kiểm tra giá trị biên.

6. Biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• Bài toán có thể tổng quát hóa cho các vật thể khác: hình trụ, hình chóp, hình cầu...
• Khi có nhiều biến, cần dùng điều kiện ràng buộc để biểu diễn các biến theo một biến duy nhất, hoặc sử dụng kỹ thuật đạo hàm riêng phần.
• Nếu có nhiều điều kiện: Đôi khi có thể dùng phương pháp Lagrange, tuy nhiên với toán THPT thường chỉ xét các điều kiện một cách đại số cơ bản.
• Bài toán thực tế có thể có ràng buộc miền xác định (ví dụ: kích thước phải lớn hơn không, chiều dài lớn hơn chiều rộng…) – cần xét giá trị biên.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài toán: Một bể cá không có nắp, đáy hình chữ nhật, thể tích$40$lít (tức$40\ \, \text{dm}^3$). Giá làm đáy là $1200$ đồng/$\text{dm}^2$, thành là $1500$ đồng/$\text{dm}^2$. Hãy xác định kích thước bể cá để chi phí thấp nhất?

Lời giải:

1. Gọi$x$và $y$(dm) là chiều dài và chiều rộng đáy,$h$(dm) là chiều cao.
2. Thể tích:$V = x y h = 40 \implies h = 40/(xy)$
3. Diện tích đáy:$xy$, diện tích thành:$2h(x+y)$
4. Chi phí:$C = 1200 xy + 1500 \times 2h(x+y) = 1200xy + 3000h(x+y)$
5. Thay$h$vào:$C(x,y) = 1200xy + 3000 \cdot \dfrac{40}{xy}(x+y)$
6. Để đơn giản, giả sử đáy hình vuông:$x = y$,$xy = x^2$,$h = 40/x^2$
7. $C(x) = 1200 x^2 + 3000 \cdot \dfrac{40}{x^2} (2x) = 1200x^2 + 6000 \cdot \dfrac{40x}{x^2} = 1200x^2 + 240000/x$
8. Tìm$x > 0$tối thiểu hóa$C(x)$:$C'(x) = 2400x - 240000 / x^2$, giải$C'(x)=0$
9. $2400x - 240000x^{-2} = 0 \implies 2400x^3 = 240000 \implies x^3 = 100 \implies x = \sqrt[3]{100} \approx 4.6416$ (dm)
10. Chiều cao:$h = 40/x^2 \approx 40/21.53 \approx 1.859$(dm)
11. Chi phí thấp nhất:$C_{\min} = 1200x^2 + 240000/x \approx 1200 \cdot 21.53 + 240000/4.6416 \approx 25836 + 51704 \approx 77540$(đồng)

Đáp số: Đáy là hình vuông cạnh$4,6416$dm, chiều cao$1,859$dm, chi phí thấp nhất khoảng$77.540$ đồng.

8. Bài tập tự luyện

1. Một bồn nước hình trụ không nắp có thể tích$50\ \text{dm}^3$. Đáy làm bằng vật liệu giá $4000$ đồng/$\text{dm}^2$, thành là $3000$ đồng/$\text{dm}^2$. Tính kích thước bồn nước để chi phí làm là ít nhất.
2. Làm một thùng hình hộp chữ nhật có nắp (6 mặt), thể tích$27$dm$^3$. Chi phí làm đáy, nắp và thành đều khác nhau. Hãy thiết lập mô hình chi phí và các phép tối ưu để tìm kích thước thùng tiết kiệm nhất.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Luôn xác định rõ ràng các ràng buộc (ví dụ: thể tích, diện tích...) từ đầu, tránh bỏ sót.
• Sau khi tính đạo hàm và tìm nghiệm, kiểm tra xem nghiệm có thỏa mãn miền xác định không.
• Đề luôn hỏi rõ ràng 'không nắp' hay 'có nắp', đọc kỹ đầu bài.
• Các bước mô hình hóa phải thực hiện cẩn thận: xác định đúng các thành phần chi phí, biểu diễn đúng các biến theo điều kiện.
• Kiểm tra kết quả bằng cách thay ngược lại các giá trị vào bài toán gốc.

Chúc các em luyện tập hiệu quả, nắm vững kỹ năng và tự tin xử lý mọi bài toán hàm chi phí thực tế!