1. Giới thiệu về hàm hữu tỉ và tầm quan trọng trong Toán 12

Hàm hữu tỉ là hàm số có dạng$y = \frac{P(x)}{Q(x)}$, trong đó $P(x)$và $Q(x)$là các đa thức,$Q(x) <br>e 0$. Đây là dạng hàm số phổ biến, xuất hiện nhiều trong các đề thi và ứng dụng thực tiễn, đặc biệt trong khảo sát và vẽ đồ thị, giải phương trình, bất phương trình. Việc nắm vững cách giải bài toán hàm hữu tỉ giúp học sinh làm chủ nội dung quan trọng của chương trình Toán 12 cũng như luyện thi THPT Quốc gia.

2. Đặc điểm của các bài toán hàm hữu tỉ

Các bài toán liên quan đến hàm hữu tỉ thường bao gồm các dạng sau:

• Tìm tập xác định của hàm hữu tỉ.
• Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên.
• Khảo sát và vẽ đồ thị hàm hữu tỉ.
• Giải phương trình, bất phương trình hữu tỉ.
• Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm hữu tỉ trên một đoạn hoặc tập xác định.

Đặc điểm nổi bật của hàm hữu tỉ là chúng có các điểm mà biểu thức không xác định (do mẫu bằng 0) và hành vi tiến tới vô cùng (tiệm cận). Hiểu rõ đặc tính này là chìa khóa để giải quyết các dạng bài toán.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán hàm hữu tỉ

Dưới đây là chiến lược tổng quát để tiếp cận mọi bài toán hàm hữu tỉ:

1. Phân tích kỹ đề bài, nhận diện dạng bài toán.
2. Viết lại hàm hữu tỉ về dạng chuẩn nếu cần thiết.
3. Xác định tập xác định của hàm số.
4. Tìm kiếm các tính chất đặc trưng: tiệm cận, cực trị, giá trị đặc biệt, tập xác định,...
5. Áp dụng công thức, phương pháp giải phù hợp với từng dạng.
6. Vẽ bảng xét dấu, bảng biến thiên (nếu cần).
7. Kết luận đáp số và trình bày đầy đủ, chính xác.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Hãy cùng minh họa quy trình giải bài toán hàm hữu tỉ thông qua ví dụ cụ thể:

1. Xác định tập xác định:

Điều kiện mẫu khác 0:$x + 1 <br>e 0 \Rightarrow x <br>e -1$.
Tập xác định$\mathscr{D} = \mathbb{R} \backslash \{-1\}$.

• Tìm tiệm cận đứng:

Tìm$x$làm mẫu số bằng 0:$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$.
Khi$x \to -1^{+/-}$,$y \to \pm \infty \Rightarrow$Đồ thị có tiệm cận đứng$x = -1$.

• Tìm tiệm cận ngang:

Xét giới hạn khi$x \to \pm \infty$:
$\lim\limits_{x \to \pm \infty} \frac{2x-1}{x+1} = \lim\limits_{x \to \pm \infty} \frac{2 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = 2$.
Vậy đồ thị có tiệm cận ngang$y = 2$.

• Tìm giao điểm với trục Ox, Oy:

Với$y = 0 \Rightarrow 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 0.5$(giao điểm trục Ox:$(0.5, 0)$)
Với$x = 0 \Rightarrow y = \frac{2 \cdot 0 - 1}{0 + 1} = -1$(giao điểm trục Oy:$(0, -1)$)

• Khảo sát chiều biến thiên, cực trị:

Tính đạo hàm:
$y' = \frac{(2)(x+1) - (2x-1) \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{2x + 2 - 2x +1}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2} > 0$với mọi$x <br>e -1$.
Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định.

• Vẽ bảng biến thiên và đồ thị.

Sau khi xét các yếu tố trên, ta vẽ bảng biến thiên rồi trở đồ thị dựa vào các yếu tố: tiệm cận, giao điểm, chiều biến thiên.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Tập xác định:$Q(x) <br>e 0$,$\mathscr{D} = \{x | Q(x) <br>e 0\}$
• Tiệm cận đứng:$Q(x_0) = 0$,$P(x_0) <br>e 0 \Rightarrow$tiệm cận đứng$x = x_0$
• Tiệm cận ngang: So sánh bậc của$P(x), Q(x)$:
  - Nếu$\deg P(x) < \deg Q(x)$:$y = 0$là tiệm cận ngang
  - Nếu$\deg P(x) = \deg Q(x)$:$y = \frac{a}{b}$với$a, b$là hệ số bậc cao nhất
  - Nếu$\deg P(x) > \deg Q(x)$: Không có tiệm cận ngang, có thể tìm tiệm cận xiên.
• Tiệm cận xiên: Nếu$\deg P(x) = \deg Q(x) + 1$, chia đa thức$P(x):Q(x)$ để tìm phương trình đường tiệm cận xiên.
• Cách vẽ bảng biến thiên: Xét dấu đạo hàm và các giá trị đặc biệt.

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

Ngoài dạng khảo sát đồ thị, hàm hữu tỉ còn xuất hiện trong các dạng bài khác:

• Phương trình hữu tỉ: Đưa các biểu thức về cùng mẫu, giải điều kiện xác định.
• Bất phương trình hữu tỉ: Dùng bảng xét dấu, suy luận từ mẫu và tử.
• Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất: Sử dụng đạo hàm, xét các điểm đặc biệt (đặc biệt lưu ý giá trị tại điểm không xác định).

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết từng bước

Bài 1: Giải bất phương trình$\frac{x-2}{x+3} > 1$

1. Đưa về cùng mẫu số:

$\frac{x-2}{x+3} > 1 \Rightarrow \frac{x-2}{x+3} - 1 > 0 \Rightarrow \frac{x-2-(x+3)}{x+3} > 0$

• Rút gọn và đưa về bất phương trình cơ bản:

$\frac{x-2-x-3}{x+3} = \frac{-5}{x+3} > 0$

• Giải dấu phân thức:

Bất phương trình$\frac{-5}{x+3} > 0$ đúng khi$x+3 < 0$(vì $-5 < 0$), tức là $x < -3$.
Nhưng mẫu số không được bằng 0, nên tập nghiệm là $x < -3$.
Kết luận:$x < -3$.

8. Bài tập thực hành tự luyện

• Tìm tập xác định, tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{x^2-4}{x-1}$.
• Giải phương trình hữu tỉ $\frac{2x+3}{x-1} = 4$.
• Giải bất phương trình$\frac{3x-2}{x+1} \leq 2$.
• Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{x+2}{x-2}$trên đoạn$[3,5]$.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm khi giải bài toán hàm hữu tỉ

• Luôn xác định kỹ tập xác định trước khi giải.
• Khi làm phương trình, bất phương trình hữu tỉ, chú ý loại nghiệm gây mẫu bằng 0.
• Khi vẽ đồ thị, nhớ thể hiện đầy đủ tiệm cận, điểm đặc biệt, chiều biến thiên.
• Tinh ý nhận diện các bài toán yêu cầu biến đổi hàm về dạng đơn giản hơn bằng cách rút gọn hoặc chia đa thức.
• Chú ý kiểm tra lại các giá trị đặc biệt và chú ý đạo hàm khi tìm cực trị.