1. Giới thiệu về bài toán hàm liên tục không âm và ý nghĩa

Trong chương trình Toán lớp 12, đặc biệt trong giải tích, bài toán về hàm liên tục không âm là một trong những chủ đề quan trọng, thường xuất hiện trong các bài toán ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, ứng dụng thực tiễn hoặc các bài toán chứng minh tính chất của hàm số. Loại bài này yêu cầu học sinh hiểu rõ định nghĩa hàm liên tục, xác định tính không âm trên một khoảng và biết áp dụng các kỹ thuật tính tích phân. Việc làm chủ cách giải bài toán hàm liên tục không âm giúp học sinh nâng cao kỹ năng tư duy logic, giải quyết các bài tập thực tế cũng như đạt điểm cao trong các kỳ thi quan trọng như THPT Quốc gia.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán hàm liên tục không âm

Đặc trưng của loại bài toán này như sau:

• Hàm số phải liên tục trên đoạn$[a, b]$(không bị "đứt đoạn" hoặc có gián đoạn).
• Hàm số không nhận giá trị âm nào trên đoạn xét (tức$f(x) \geq 0$với mọi$x$trong$[a, b]$).
• Thường yêu cầu tính tích phân trên một khoảng, tìm diện tích hình phẳng hoặc chứng minh một tính chất liên quan tới tính chất dương/không âm của hàm.

Với những đặc điểm này, khi gặp đề bài cần lưu ý kiểm tra đồng thời hai yếu tố: tính liên tục và không âm của hàm số trên khoảng, đoạn được đề cập.

3. Chiến lược tổng thể để giải bài toán hàm liên tục không âm

• Đọc kỹ đề, xác định rõ hàm số cần xét và đoạn/ khoảng xác định.
• Kiểm tra/dẫn chứng tính liên tục của hàm trên đoạn$[a, b]$.
• Phân tích dấu hàm số trên khoảng cần xét (giải bất phương trình$f(x) \geq 0$hoặc dùng bảng xét dấu).
• Nếu bài toán yêu cầu tính diện tích, xác định rõ miền giới hạn tích phân, các điểm cắt trục hoành (nếu cần).
• Lựa chọn hoặc biến đổi các công thức tích phân phù hợp.

4. Các bước giải bài toán và ví dụ minh họa

Dưới đây là các bước giải quyết chi tiết và một ví dụ minh họa cụ thể.

• Bước 1: Xác định hàm số, đoạn xét và yêu cầu bài toán.
• Bước 2: Kiểm tra tính liên tục của hàm trên khoảng cần xét bằng định nghĩa hoặc dựa vào tính chất của các hàm quen thuộc (bậc nhất, bậc hai, logarit, mũ, phân thức,…).
• Bước 3: Xét dấu của hàm số trên đoạn. Có thể sử dụng xét miền xác định, giải bất phương trình, hoặc vẽ bảng biến thiên dấu.
• Bước 4: Với bài toán yêu cầu tính diện tích hình phẳng, xác định các giới hạn tích phân và sử dụng công thức tính diện tích.
• Bước 5: Tính tích phân, kết luận bài toán.

Ví dụ minh họa

Bài toán: Cho hàm số $f(x) = x^2 - 2x + 2$trên đoạn$[0; 2]$.

1. Xét tính liên tục của$f(x)$trên$[0;2]$:
2. Hàm$f(x)$là hàm bậc hai, liên tục trên$\bb{R}$, do đó cũng liên tục trên$[0;2]$.
3. Xét tính không âm trên$[0;2]$:
4. Ta có $f(x) = (x-1)^2 +1 \geq 1 >0$với mọi$x$. Vì vậy,$f(x)$không âm trên cả đoạn.
5. Tính tích phân để tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng$x=0$,$x=2$:$S = \int_{0}^{2} f(x)dx = \int_{0}^{2} (x^2 - 2x +2)dx$
6. Tính toán:
7. $\int_{0}^{2} x^2 dx = \Big[\frac{1}{3}x^3\Big]_0^2 = \frac{8}{3}$,$\int_{0}^{2} 2x dx = \Big[x^2\Big]_0^2 = 4$,$\int_{0}^{2} 2dx = 2x|_0^2 = 4$
8. Do đó:$S = \frac{8}{3} - 4 + 4 = \frac{8}{3}$
9. Kết luận:$f(x)$vừa liên tục vừa không âm trên$[0;2]$. Diện tích hình phẳng (giới hạn bởi$f(x)$,$Ox$,$x=0$,$x=2$) bằng$\frac{8}{3}$.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số không âm$y=f(x)$trên$[a,b]$:
• $<br>S = \int_{a}^{b} |f(x)|dx <br>$
  Vì $f(x) \geq 0$nên$|f(x)| = f(x)$.
• Nếu hàm đổi dấu trên$[a, b]$, chia đoạn theo các nghiệm$f(x) = 0$, sau đó lấy giá trị tuyệt đối từng đoạn.
• Một số kỹ thuật thường gặp:
  - Phân tích, quy hoạch lại hàm số dạng tích, bình phương để xét dấu dễ hơn.
  - Dùng bảng biến thiên, đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất/lớn nhất của hàm trên đoạn.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• Hàm có thể chỉ không âm trên một phần đoạn. Khi đó cần xác định miền không âm để tính diện tích hoặc kết luận.
• Hàm chỉ liên tục từng khúc: Cần xét riêng từng đoạn liên tục, sau đó gộp kết quả.
• So sánh diện tích các vùng, hoặc chứng minh bất đẳng thức liên quan đến tích phân của hàm không âm.
• Bài toán hàm tham số (có $m$hoặc$a, b$): Tìm điều kiện tham số để hàm liên tục và/hoặc không âm trên khoảng cho trước.
• Bài toán chứng minh: Dùng định nghĩa, các định lý liên quan đến hàm liên tục.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập: Cho hàm số $f(x) = \ln(x+2) - x$trên đoạn$[0;1]$. Chứng minh$f(x)$liên tục và không âm trên$[0;1]$, và tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi$y=f(x)$, trục hoành, hai đường thẳng$x=0$,$x=1$.

1. Tính liên tục:$f(x)$là hiệu của hai hàm liên tục trên$[0;1]$. Hàm$\ln(x+2)$xác định và liên tục trên$[0;1]$,$x$cũng vậy. Do đó $f(x)$liên tục trên$[0;1]$.
2. Tính không âm: Xét$g(x)=\ln(x+2) - x$. Ta có $g(0) = \ln 2 > 0$,$g(1) = \ln 3 -1$, tính gần đúng:$\ln 3 \approx 1.0986$,$g(1) \approx 0.0986 >0$.
3. Đạo hàm:$g'(x) = \frac{1}{x+2} -1 = \frac{1-(x+2)}{x+2} = \frac{-x-1}{x+2} < 0$trên$[0;1]$. Vậy$g(x)$giảm trên$[0;1]$.
4. Vì $g(x)$giảm mà cả hai đầu đều dương, nên$g(x) >0$trên$[0;1]$,$f(x)$không âm.
5. Diện tích hình phẳng$S = \int_0^1 (\ln(x+2) - x)dx = \int_0^1 \ln(x+2)dx - \int_0^1 xdx$
6. Tính: Với$u = x+2$,$x=0 \to u=2$,$x=1 \to u=3$:
   $<br>\int_0^1 \ln(x+2)dx = \int_2^3 \ln u du = [u\ln u - u]_2^3 = (3\ln 3 - 3) - (2\ln 2 - 2)<br>$
7. $\int_0^1 x dx = \frac{1}{2}x^2|_0^1 = \frac{1}{2}$
8. Suy ra:$S = (3\ln 3 - 3) - (2\ln 2 - 2) - \frac{1}{2} = (3\ln 3 - 2\ln 2) -1.5$

8. Bài tập thực hành (Có đáp số)

• 1. Cho$f(x) = e^x - 1$trên$[0;1]$. Chứng minh$f(x)$liên tục, không âm và tính$\int_{0}^{1} f(x)dx$. [Đáp số:$e-2$]
• 2. Cho$f(x) = x^3 -3x^2 +3x$trên$[0;1]$.$f(x)$có không âm không? Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $f(x)$và $Ox$.
• 3. Cho $f(x) = \sqrt{x+1} - 1$trên$[0;3]$. Chứng minh liên tục, không âm và tính $\int_{0}^{3} f(x)dx$. [Đáp số: $\frac{16}{3} -3$]

9. Mẹo và lưu ý khi giải bài toán hàm liên tục không âm

• Luôn kiểm tra cả hai yếu tố: liên tục và không âm trên toàn bộ đoạn xét.
• Với hàm phức tạp nên xét miền xác định kỹ càng.
• Nếu tích phân ra giá trị âm, cần xem lại quá trình phân tích vùng hoặc dấu của hàm.
• Vẽ đồ thị (nếu có thể) giúp kiểm chứng trực quan dấu hàm.
• Phân tích tham số (nếu có) để tìm điều kiện đảm bảo liên tục, không âm.

Bài toán hàm liên tục không âm không chỉ xuất hiện trong Toán học mà còn có ý nghĩa lớn trong thực tiễn, giúp học sinh vận dụng linh hoạt kiến thức tích phân qua nhiều dạng bài khác nhau. Vững chiến lược và luyện tập chăm chỉ, các em sẽ làm chủ loại bài toán này!