1. Giới thiệu về bài toán hàm logarit lớp 12

Hàm logarit là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 12, thường xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia, đánh giá năng lực và kiểm tra định kỳ. Việc nắm vững cách giải bài toán hàm logarit không chỉ giúp các em xử lý thành thạo những bài tập liên quan mà còn góp phần củng cố tư duy đại số, giải tích và chuẩn bị tốt cho các dạng toán hàm số phức tạp hơn về sau.

2. Đặc điểm của bài toán hàm logarit

Bài toán về hàm logarit lớp 12 thường bao gồm các dạng chủ yếu như: xác định miền xác định của hàm logarit; giải phương trình logarit, bất phương trình logarit; và ứng dụng trong các bài toán thực tế hoặc kết hợp với các kiến thức khác như hàm số, đạo hàm, tích phân. Điểm chung là yêu cầu áp dụng linh hoạt các tính chất logarit và kết hợp với các kỹ thuật đại số khác.

3. Chiến lược tổng thể để giải bài toán hàm logarit

Để giải tốt các bài toán về hàm logarit, học sinh nên tuân theo những bước chính sau:

• Bước 1: Xác định điều kiện xác định của biểu thức logarit (các biểu thức trong logarit phải dương; cơ số khác 1 và lớn hơn 0).
• Bước 2: Áp dụng các công thức biến đổi logarit để rút gọn, chuyển về dạng thuận tiện giải.
• Bước 3: Giải phương trình tương ứng, chú ý kiểm tra và loại các nghiệm không thỏa mãn điều kiện xác định.
• Bước 4: Đối với các bài toán ứng dụng, diễn giải kết quả và soát lại tính hợp lý của nghiệm.

4. Các bước giải bài toán hàm logarit chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xác định miền xác định của hàm số

Cho hàm số $y = \log_2(x-1)$. Xác định tập xác định của hàm số.

• Bước 1: Xét điều kiện tồn tại:$x-1 > 0$.
• Bước 2: Suy ra$x > 1$.

=> Tập xác định của hàm số là $D = (1; +\infty)$.

Ví dụ 2: Giải phương trình logarit cơ bản

Giải phương trình$\log_3(x+1) = 2$.

• Bước 1: Điều kiện xác định:$x+1 > 0 \Rightarrow x > -1$.
• Bước 2: Đưa về dạng số mũ:$x + 1 = 3^2 = 9$.
• Bước 3:$x = 8$thoả mãn điều kiện xác định.

=> Nghiệm của phương trình là $x=8$.

Ví dụ 3: Sử dụng tính chất logarit để rút gọn và giải phương trình

Giải phương trình$\log_2(x-1) + \log_2(x+3) = 3$.

• Bước 1: Điều kiện xác định:
  $$\left\{\begin{array}{l} x-1 > 0 \\x+3 > 0 \\\end{array}\right. \Rightarrow x > 1$$
  .
• Bước 2: Sử dụng công thức:$\log_a A + \log_a B = \log_a(AB)$.
• Khi đó:$\log_2[(x-1)(x+3)] = 3$.
• Dạng mũ:$(x-1)(x+3) = 2^3 = 8$.
• Khai triển:$x^2 + 2x - 3 - 8 = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 11 = 0$.
• Giải: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 44}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{-2 \pm 4\sqrt{3}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{3}$.
• Chọn nghiệm $x = -1 + 2\sqrt{3} \approx 2.46$(thoả mãn$x > 1$), loại nghiệm $x = -1 - 2\sqrt{3} < 1$.

=> Nghiệm duy nhất: $x = -1 + 2\sqrt{3}$.

5. Các công thức và kỹ thuật giải bài toán hàm logarit cần nhớ

• $\log_a (AB) = \log_a A + \log_a B$
• $\log_a \left(\frac{A}{B}\right) = \log_a A - \log_a B$
• $\log_a (A^k) = k \log_a A$
• $a^{\log_a b} = b$
• $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

Ngoài ra, cần chú ý đến các điều kiện xác định hàm logarit như đã nêu trong từng bước giải ở trên.

6. Biến thể của bài toán hàm logarit và cách điều chỉnh chiến lược

• Biến thể 1: Bất phương trình logarit: Bạn cần chuyển toàn bộ về cùng một cơ số, tập trung phân tích điều kiện xác định, khai thác tính đơn điệu của hàm logarit.
• Biến thể 2: Toán ứng dụng thực tế: Áp dụng kiến thức thực tiễn như tính tuổi, bài toán tăng trưởng theo cấp số nhân... Phải phân tích bài và đặt ẩn hợp lý để sử dụng logarit.
• Biến thể 3: Kết hợp với các kiến thức khác: Kết hợp với hàm số, đạo hàm, tích phân đòi hỏi phải linh hoạt dùng đồng thời nhiều kỹ năng.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết từng bước

Bài toán: Giải phương trình$\log_5(x^2 - 4x + 7) = 1$.

• Bước 1: Điều kiện xác định:$x^2 - 4x + 7 > 0$(luôn đúng với mọi$x$).
• Bước 2: Chuyển về dạng số mũ:$x^2 - 4x + 7 = 5^1 = 5$.
• Bước 3:$x^2 - 4x + 7 = 5 \Rightarrow x^2 - 4x + 2 = 0$.
• Bước 4: Giải phương trình: $x^2 - 4x + 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \pm \sqrt{2}$.

Vậy nghiệm là $x = 2 + \sqrt{2}$và $x = 2 - \sqrt{2}$.

8. Bài tập thực hành về hàm logarit

Hãy tự giải các bài toán sau đây để rèn luyện kỹ năng giải bài toán hàm logarit:

• Bài 1: Tìm tập xác định của hàm số $y = \log_3(2x - 5)$.
• Bài 2: Giải phương trình$\log_2(2x - 7) = 3$.
• Bài 3: Giải phương trình$\log_4(x-1) + \log_4(x+3) = 2$.
• Bài 4: Giải bất phương trình$\log_{0.5}(x - 1) \leq 2$.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến khi giải bài toán hàm logarit

• Luôn kiểm tra điều kiện xác định trước khi giải và sau khi có nghiệm.
• Cẩn thận với các phép biến đổi sai chiều khi cơ số logarit nhỏ hơn 1.
• Không quên đăng nhập lại nghiệm vào phương trình gốc, đặc biệt nếu có bình phương hoặc các phép biến đổi phức tạp.
• Sử dụng các công thức logarit cơ bản linh hoạt và đúng hoàn cảnh.

Hy vọng với hướng dẫn chi tiết trên, các bạn sẽ nắm vững cách giải bài toán hàm logarit lớp 12 và tự tin thực hành, rèn luyện chuẩn bị tốt cho các kỳ thi quan trọng.