1. Giới thiệu về bài toán hàm lợi nhuận và vai trò quan trọng

Bài toán về hàm lợi nhuận là dạng toán ứng dụng thực tế rất quan trọng trong chương trình toán 12, thường xuất hiện trong các đề thi THPT quốc gia. Dạng bài này mô tả tình huống thực tế như sản xuất, kinh doanh, tối ưu chi phí hoặc lợi nhuận. Kết quả của bài toán không chỉ giúp học sinh hiểu ứng dụng của toán học mà còn rèn luyện kỹ năng tối ưu hóa - một trong những tư duy cốt lõi bậc phổ thông và đại học.

Tầm quan trọng của bài toán hàm lợi nhuận là:

• Liên kết thực tiễn với kiến thức lý thuyết về hàm số, đạo hàm.
• Rèn kỹ năng mô hình hóa tình huống thực tế dưới dạng hàm số.
• Giúp học sinh làm quen với bài toán tối ưu hóa – kỹ năng quan trọng ở mọi bậc học.

2. Đặc điểm bài toán hàm lợi nhuận

Bài toán hàm lợi nhuận thường có các đặc điểm:

• Yêu cầu lập hàm lợi nhuận dựa trên các yếu tố như doanh thu, chi phí:
• Xuất hiện điều kiện thực tế ràng buộc biến số (ví dụ: số lượng sản phẩm không âm, nhỏ hơn mức kỹ thuật...).
• Cần xác định giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm lợi nhuận.

Cấu trúc tổng quát của hàm lợi nhuận:



$L(x) = R(x) - C(x)$
•$L(x)$: lợi nhuận;
•$R(x)$: doanh thu;
•$C(x)$: chi phí;
•$x$: biến số thường là số lượng sản phẩm hoặc mức tiêu thụ.


3. Chiến lược tổng thể để giải bài toán hàm lợi nhuận

1. Đọc kỹ đề, xác định các đại lượng (doanh thu, chi phí, số lượng, điều kiện thực tế).
2. Mô hình hóa: Viết biểu thức hàm lợi nhuận$L(x)$. Thường sẽ cần lập công thức doanh thu$R(x)$và chi phí $C(x)$trước.
3. Xác định tập xác định/điều kiện của biến$x$.
4. Sử dụng kiến thức đạo hàm để tìm cực trị (giá trị lớn nhất, nhỏ nhất) của hàm số $L(x)$trên miền xác định.
5. Kiểm tra giá trị lớn nhất/nhỏ nhất tại các điểm tới hạn (nghiệm$L'(x) = 0$) và tại biên của miền xác định.
6. Kết luận dựa vào kết quả tính toán, đảm bảo giá trị tìm được thỏa mãn điều kiện thực tế.

4. Các bước giải cụ thể với ví dụ minh họa

Cùng giả sử đề bài như sau:

"Một xí nghiệp sản xuất sản phẩm với chi phí $C(x) = 50x + 2000$(nghìn đồng) và doanh thu$R(x) = 100x$(nghìn đồng) trong đó $x$là số đơn vị sản phẩm tiêu thụ (với$0 \leq x \leq 100$). Hỏi sản xuất và bán bao nhiêu sản phẩm thì lợi nhuận lớn nhất? Giá trị lớn nhất đó là bao nhiêu?"

Bước 1: Lập hàm lợi nhuận$L(x)$

Ta có:
$L(x) = R(x) - C(x) = 100x - (50x + 2000) = 50x - 2000$

Bước 2: Xác định miền xác định cho$x$

Theo đề:$0 \leq x \leq 100$.

Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của$L(x)$trên đoạn$[0, 100]$

$L(x) = 50x - 2000$là hàm bậc nhất, đồng biến nên đạt giá trị lớn nhất tại$x = 100$:

Bước 4: Kết luận

Để lợi nhuận lớn nhất, xí nghiệp cần sản xuất và bán 100 sản phẩm, với lợi nhuận lớn nhất là 3000 nghìn đồng (3 triệu đồng).

5. Các công thức và kỹ thuật cần ghi nhớ

• Hàm lợi nhuận:$L(x) = R(x) - C(x)$
• Doanh thu:$R(x) = p \cdot x$(với$p$là giá bán đơn vị,$x$là số lượng tiêu thụ)
• Chi phí:$C(x) = f(x)$– thường là tổng chi phí sản xuất, có thể là bậc nhất, bậc hai…
• Điểm cực trị: Giải phương trình$L'(x) = 0$ để tìm các điểm tới hạn
• So sánh giá trị $L(x)$tại các điểm cực trị và tại các giá trị biên miền xác định để tìm giá trị lớn/nhỏ nhất.

6. Các biến thể và cách điều chỉnh chiến lược

a. Khi chi phí/doanh thu là hàm bậc hai hoặc phức tạp:

– Áp dụng đạo hàm$L'(x)=0$ để tìm cực trị, thay vào$x$tìm được để so sánh giá trị tại các điểm biên.

b. Khi bài ra thêm nhiều điều kiện phụ (giới hạn số lượng tối thiểu, tối đa, hoặc các ràng buộc khác):

– Lưu ý kiểm tra từng giá trị trong miền xác định, đặc biệt các biên và nghiệm của$L'(x)=0$thỏa tất cả điều kiện.

c. Khi yêu cầu tối ưu hóa không phải lợi nhuận tối đa mà là lợi nhuận đạt giá trị cụ thể, hoặc cân bằng các yếu tố khác:

– Định nghĩa lại hàm mục tiêu và lặp lại quá trình lập hàm, giải theo các bước đã hướng dẫn.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết từng bước

Đề bài:
"Một công ty sản xuất mặt hàng với chi phí $C(x) = x^2 - 20x + 200$(triệu đồng), doanh thu$R(x) = 40x$(triệu đồng) trong đó $x$là số sản phẩm tiêu thụ ($0 \leq x \leq 50$). Hỏi sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận lớn nhất? Giá trị lớn nhất đó là bao nhiêu?"

Hướng dẫn giải chi tiết

1. Lập hàm lợi nhuận:
2. $L(x) = R(x) - C(x) = 40x - (x^2 - 20x + 200) = -x^2 + 60x - 200$
3. Tìm giá trị lớn nhất của$L(x)$trên đoạn$[0, 50]$.
4. Đạo hàm:$L'(x) = -2x + 60$. Giải$L'(x)=0$:
5. $-2x + 60 = 0 \implies x = 30$
6. Giá trị $L(x)$tại$x=0$,$x=50$và $x=30$:
7. $L(0) = -(0)^2 + 60 \times 0 - 200 = -200$
$L(50) = -(50)^2 + 60 \times 50 - 200 = -2500 + 3000 - 200 = 300$
$L(30) = -(30)^2 + 60 \times 30 - 200 = -900 + 1800 - 200 = 700$
8. So sánh:$L(30) = 700 > L(50) = 300 > L(0) = -200$
9. Kết luận: Công ty nên sản xuất 30 sản phẩm để lợi nhuận lớn nhất là 700 triệu đồng.

8. Bài tập thực hành (tự luyện)

1. Một doanh nghiệp sản xuất mặt hàng với công thức chi phí $C(x) = 40x + 500$(nghìn đồng) và doanh thu$R(x) = 70x$(nghìn đồng). Biết số lượng tiêu thụ tối đa là 60 sản phẩm. Hỏi nên sản xuất và bán bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận lớn nhất? Giá trị lớn nhất đó là bao nhiêu?

2. Chi phí sản xuất$C(x) = 2x^2 + 10x + 600$, doanh thu$R(x) = 52x$. Xác định số sản phẩm tiêu thụ $x$ để lợi nhuận lớn nhất nếu$0 \leq x \leq 25$.

3. Một xí nghiệp có chi phí $C(x) = 20x^2 + 60x + 4000$(nghìn đồng) và doanh thu$R(x) = 120x$(nghìn đồng) với$x$là số sản phẩm ($0 \leq x \leq 100$). Hãy xác định$x$ để lợi nhuận lớn nhất.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm thường gặp

• Đọc kỹ đề, xác định rõ đơn vị các đại lượng (nghìn đồng, triệu đồng) để tránh sai số.
• Luôn kiểm tra điều kiện ràng buộc/miền xác định của bài toán.
• Không quên tính giá trị hàm lợi nhuận tại các điểm biên của miền xác định.
• Với hàm lợi nhuận là bậc hai, chú ý tính tham số $a$ âm hay dương để biết cực đại hay cực tiểu.
• Sau khi tìm nghiệm đạo hàm, luôn kiểm tra xem nó có thuộc tập xác định không (nếu không thì bỏ qua nghiệm đó).

Hy vọng với chiến lược "cách giải bài toán hàm lợi nhuận" trên, các bạn sẽ tự tin chinh phục mọi dạng bài toán tối ưu lợi nhuận trong chương trình toán lớp 12 và các kỳ thi quan trọng. Chúc các bạn học tốt!