Chiến Lược Giải Quyết Bài Toán Hàm Phân Thức Bậc Hai Trên Bậc Nhất Lớp 12
1. Giới thiệu về bài toán hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất
Hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất là một trong những chủ đề trọng tâm trong chương trình Toán lớp 12. Đây là nền tảng quan trọng cho học sinh trong việc học các bài toán khảo sát hàm số, giải bất phương trình, và ứng dụng vào nhiều bài toán thực tiễn, ôn luyện cho kỳ thi THPT Quốc gia. Loại hàm này có dạng tổng quát:
Loại hàm này nổi bật do sở hữu nhiều tính chất đặc trưng: tiệm cận, cực trị, giá trị lớn nhất nhỏ nhất, và tập xác định... Việc thành thạo kỹ năng giải quyết bài toán này giúp học sinh phát triển tư duy logic, làm chủ các dạng bài thi.
2. Đặc điểm của hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất
Dạng toán này có những đặc trưng cơ bản sau:
- Tử số là một đa thức bậc hai (), mẫu số là đa thức bậc nhất ().
- Tập xác định: Loại trừ điểm làm mẫu số bằng, tức.
- Có tiệm cận đứng tại.
- Có tiệm cận ngang khi, dựa vào bậc của tử và mẫu.
- Có thể có cực trị, giá trị lớn nhất/nhỏ nhất hoặc nghiệm tùy dạng bài toán.
3. Chiến lược tổng thể để giải quyết bài toán
Dưới đây là chiến lược tổng thể giải dạng bài này:
- Xác định tập xác định của hàm số.
- Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
- Tìm miền đơn điệu, cực trị (nếu yêu cầu).
- Giải các bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (max – min) nếu đề bài yêu cầu.
- Xét sự tương giao, các bài toán liên quan nghiệm (giải phương trình, bất phương trình).
- Vẽ đồ thị (bằng tay/hoặc phần mềm như Geogebra) để kiểm tra hoặc minh họa kết quả.
4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa
Xét ví dụ: Cho hàm số .
- Bước 1: Tập xác định
- Bước 2: Tìm tiệm cận đứng
là tiệm cận đứng.
- Bước 3: Tiệm cận ngang
Chia tử cho mẫu:
, nên:
Khi,. Hàm số không có tiệm cận ngang, mà có tiệm cận xiên.
- Bước 4: Tính đạo hàm để khảo sát đơn điệu, cực trị
Tính.
Giải phương trìnhtìm điểm cực trị (nếu có yêu cầu bài toán).
- Bước 5: Vẽ đồ thị trên máy tính hoặc phần mềm Geogebra để quan sát biến thiên.
Nhờ Geogebra, học sinh có thể sử dụng thanh trượt để thay đổi tham số và quan sát sự thay đổi của đồ thị.
5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ
- Tập xác định:
- Tiệm cận đứng:
- Tiệm cận ngang: So sánh bậc tử và mẫu:
- \lim\limits_{x \to \pm \infty} y = \begin{cases} 0 & \text{nếu} \, \deg(\text{tử}) < \deg(\text{mẫu}) \\ \frac{a}{d}& \text{nếu} \, \deg(\text{tử}) = \deg(\text{mẫu}) \\ \text{không có, mà có tiệm cận xiên nếu} \, \deg(\text{tử}) = \deg(\text{mẫu})+1 \end{cases}
- Kỹ thuật chia đa thức để tìm tiệm cận xiên.
- Tính đạo hàm bằng công thức đạo hàm hàm phân thức:
6. Các biến thể và cách điều chỉnh chiến lược
Một số dạng bài thường gặp và gợi ý tiếp cận:
- Tìm điều kiện để hàm số xác định/trùng với hàm số cho trước.
- Giải phương trình/bất phương trình chứa phân thức bậc hai trên bậc nhất: Quy đồng, rút gọn, đặt ẩn phụ.
- Bài toán giá trị lớn nhất/nhỏ nhất: Thường quy về , kiểm tra các giá trị đặc biệt liên quan tới biên của từng khoảng.
- Bài toán khảo sát và vẽ đồ thị: Lần lượt xác định tiệm cận, dựng bảng biến thiên, vẽ đồ thị tổng quát.
- Ứng dụng vào các bài toán thực tế: mô hình hóa các hiện tượng vật lý, kinh tế...
7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết
Bài tập: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
- Tập xác định:.
- Tìm tiệm cận đứng:.
- Tiệm cận xiên: Chia tử cho mẫu,, ta được:
- .
- Khi,là tiệm cận xiên.
- Tìm điểm cắt trục hoành:; trục tung:.
- Tính đạo hàm:; giải để tìm cực trị.
- Lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị.
8. Bài tập thực hành tự luyện
- Cho hàm. Hãy xác định tập xác định, tiệm cận, tìm điểm cực trị (nếu có).
- Giải phương trình:.
- Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm.
- Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất củatrên.
9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến
- Luôn xác định tập xác định trước khi giải các bài toán khác.
- Chia đa thức chuẩn xác khi cần tìm tiệm cận xiên.
- Khi tìm cực trị phải kiểm tra điểm loại trừ do mẫu số để tránh nhầm lẫn giá trị không xác định.
- Khi giải phương trình/bất phương trình, chú ý loại nghiệm làm mẫu số bằng.
- Khi vẽ đồ thị nên vẽ thêm tiệm cận, điểm đặc biệt như cắt trục, cực trị để đảm bảo đồ thị đúng.
Danh mục:
Tác giả
Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.
Theo dõi chúng tôi tại