Blog

Chiến lược giải quyết bài toán Hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất lớp 12

T
Tác giả
7 phút đọc
Chia sẻ:
7 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất

Hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất là dạng hàm số có dạng tổng quát như sau:

y=ax2+bx+cdx+e(d0)y = \frac{ax^2 + bx + c}{dx + e} \quad (d \neq 0)

Đây là dạng hàm số đặc biệt thường gặp trong chương trình Toán lớp 12, đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện kỹ năng phân tích hàm số, nhận biết tập xác định, giới hạn, tiệm cận, khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Việc nắm vững cách giải bài toán này giúp học sinh dễ dàng giải quyết các câu hỏi trong bài kiểm tra, thi THPT Quốc gia cũng như vận dụng vào các bài toán thực tế.

2. Đặc điểm của hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất

  • Tử số là đa thức bậc hai, mẫu số là đa thức bậc nhất.
  • Tập xác định: Loại các giá trị xxkhiếndx+e=0dx + e = 0.
  • Có tiệm cận đứng và tiệm cận xiên.
  • Đường cong của đồ thị hàm là một nhánh "hypebola lùi" đặc biệt có thể bị lệch hoặc bị kéo dãn.
  • Có thể xác định chiều biến thiên, cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất tùy tính chất đề bài.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán

  1. Nhận diện dạng hàm số (phân thức bậc hai trên bậc nhất)
  2. Tìm tập xác định của hàm số.
  3. Tìm các tiệm cận (đứng, ngang, xiên).
  4. Khảo sát tính đồng biến, nghịch biến, cực trị.
  5. Tìm giới hạn tại các điểm đặc biệt và vô cùng.
  6. Vẽ bảng biến thiên, đồ thị.

Một số bài toán còn yêu cầu giải phương trình, bất phương trình hoặc tìm các giá trị tham số để hàm số thoả mãn điều kiện cho trước.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Xét ví dụ minh họa cụ thể:

Cho hàm số:y=2x23x+1x1y = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}

Bước 1: Xác định tập xác định

Mẫu số x1=0x=1x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1không xác định.

Vậy tập xác định D=R{1}D = \mathbb{R} \setminus \{1\}.

Bước 2: Tìm tiệm cận đứng

Tiệm cận đứng tại nghiệm củax1=0x - 1 = 0nênx=1x = 1là tiệm cận đứng.

Bước 3: Tìm tiệm cận xiên

Vì bậc tử lớn hơn bậc mẫu một đơn vị nên hàm có tiệm cận xiên. Tìm tiệm cận xiên bằng phép chia đa thức:

Chia2x23x+12x^2 - 3x + 1chox1x - 1, ta được:

2x23x+1=(x1)(2x1)+0=2x22xx+1=2x23x+1\begin{align*} 2x^2 - 3x + 1 & = (x-1) \cdot (2x - 1) + 0 \\ & = 2x^2 - 2x - x + 1 \\ & = 2x^2 - 3x + 1 \\\\\end{align*}

Vậy tiệm cận xiên là y=2x1y = 2x - 1.

Bước 4: Tìm giới hạn tại các điểm đặc biệt

• Khix1x \to 1^{-}hoặcx1+x \to 1^{+}(tiệm cận đứng):

limx12x23x+1x1=limx12(1)23(1)+111\lim_{x \to 1} \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1} = \lim_{x\to 1} \frac{2(1)^2 - 3(1) + 1}{1-1}

Tử số tạix=1x=123+1=02 - 3 + 1 = 0, mẫu số bằng00, nên giới hạn không xác định (vô cùng), xác định dấu để biết chiều tiếp cận.

• Khix+x \to +\inftyhoặcxx \to -\infty(tiệm cận xiên):

limx2x23x+1x1=\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1} = \infty

Tuy nhiên, khi chia đa thức đã tìm được phương trình tiệm cận xiêny=2x1y = 2x - 1.

Bước 5: Tính đạo hàm để khảo sát cực trị và bảng biến thiên

Áp dụng quy tắc đạo hàm phân thức: Nếuy=uvy = \frac{u}{v}thì y=uvuvv2y’ = \frac{u’v - uv’}{v^2}

Ta có:u=2x23x+1u = 2x^2 - 3x + 1,u=4x3u' = 4x - 3,v=x1v = x-1,v=1v' = 1.

y=(4x3)(x1)(2x23x+1)1(x1)2=4x24x3x+32x2+3x1(x1)2y' = \frac{(4x-3)(x-1) - (2x^2-3x+1) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{4x^2 - 4x - 3x + 3 - 2x^2 + 3x - 1}{(x-1)^2}

=2x24x+2(x1)2=2(x22x+1)(x1)2=2(x1)2(x1)2=2= \frac{2x^2 - 4x + 2}{(x-1)^2} = \frac{2(x^2 - 2x + 1)}{(x-1)^2} = \frac{2(x-1)^2}{(x-1)^2} = 2

Vậy đạo hàm luôn bằng 2 với mọix1x \neq 1. Hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định.

Bước 6: Vẽ bảng biến thiên và đồ thị

Dựa vào các kết quả trên, vẽ trục số loạix=1x=1, ghi chiều hàm số tăng (do đạo hàm luôn dương), biểu diễn tiệm cận đứngx=1x=1, tiệm cận xiêny=2x1y=2x-1, biểu diễn đồ thị bằng phần mềm như Geogebra hoặc vẽ phác thảo.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • Tập xác định:dx+e0dx+e \neq 0
  • Đạo hàm: Nếuy=uvy=\frac{u}{v}thì y=uvuvv2y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
  • Tiệm cận đứng:dx+e=0dx+e=0
  • Tiệm cận ngang: Nếu bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu.
  • Tiệm cận xiên: Chia tử cho mẫu lấy phần nguyên, phần dư chia cho mẫu, lấy hệ số củaxxvà hằng số.

6. Biến thể bài toán & cách điều chỉnh chiến lược

- Nếu đề bài yêu cầu tìm tham số để hàm số thoả mãn điều kiện (có cực trị/đồng biến/nghịch biến/...) thì phải khảo sát kỹ đạo hàm và giải điều kiện theo tham số.

- Nếu đề xuất vẽ đồ thị trên phần mềm: sử dụng Geogebra để quan sát trực quan sự thay đổi của đồ thị khi biến đổi các tham số.

- Khi giải phương trình/bất phương trình với hàm phân thức: phân tích kỹ điều kiện xác định, xét dấu, v.v.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:y=x2+2x3x+1y = \frac{x^2 + 2x - 3}{x + 1}

Bước 1: Tập xác định:x+10x1x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1.

Bước 2: Tiệm cận đứng:x=1x = -1.

Bước 3: Tiệm cận xiên: Chiax2+2x3x^2 + 2x - 3chox+1x+1:

x2+2x3=(x+1)x+(x3)=x2+x+x3x^2 + 2x - 3 = (x + 1) \cdot x + (x - 3) = x^2 + x + x - 3

Phần nguyên là xx, phần dư là x3x-3.

Vậy tiệm cận xiên là y=xy = x.

Bước 4: Đạo hàm:u=x2+2x3(u=2x+2);  v=x+1 (v=1)u = x^2 + 2x - 3\, (u' = 2x + 2);\; v = x + 1\ (v' = 1).

y=(2x+2)(x+1)(x2+2x3)1(x+1)2y' = \frac{(2x + 2)(x + 1) - (x^2 + 2x - 3) \cdot 1}{(x + 1)^2}

=2x2+2x+2x+2x22x+3(x+1)2=x2+2x+5(x+1)2= \frac{2x^2 + 2x + 2x + 2 - x^2 - 2x + 3}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x + 5}{(x+1)^2}

Đạo hàm luôn dương với mọix1x \neq -1. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Bước 5: Vẽ bảng biến thiên, đồ thị dựa trên kết quả trên. Chú ý tiệm cận đứngx=1x=-1và tiệm cận xiêny=xy=x.

8. Bài tập thực hành

Tự luyện tập các bài sau:

  • Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:y=3x22x+52x4y = \frac{3x^2 - 2x + 5}{2x - 4}
  • Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:y=x24x+2y = \frac{x^2 - 4}{x + 2}
  • Tìm giá trị tham số kkđể hàm sốy=x2+kx+1x2y = \frac{x^2 + kx + 1}{x - 2} đạt cực đại tạix=0x = 0.

9. Mẹo và lưu ý khi làm bài

  • Trước khi làm cần xác định chính xác tập xác định của hàm số.
  • Chia đa thức tử cho đa thức mẫu để tìm tiệm cận xiên một cách chính xác.
  • Khi đạo hàm, nhớ sử dụng đúng quy tắc đạo hàm phân thức.
  • Tránh quên loại nghiệm làm mẫu số bằng 0 khi giải phương trình/bất phương trình.
  • Nên luyện tập vẽ đồ thị trên Geogebra để hình dung trực quan các yếu tố tiệm cận, cực trị.
  • Nếu gặp trường hợp đạo hàm có thể rút gọn (như ví dụ trên ra hệ số không phụ thuộcxx), chú ý đến tính chất đồng biến/ nghịch biến đặc biệt đó.
T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".