Blog

Chiến Lược Giải Quyết Bài Toán Hàm Phân Thức Bậc Nhất Trên Bậc Nhất Lớp 12: Hướng Dẫn Chi Tiết và Ví Dụ Minh Họa

T
Tác giả
6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất và tầm quan trọng

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất là một trong những chủ đề trọng tâm trong chương trình Toán lớp 12, đặc biệt quan trọng trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia và đại học. Chúng xuất hiện dưới nhiều dạng bài như khảo sát, vẽ đồ thị, tìm giá trị lớn nhất - nhỏ nhất, giải phương trình chứa hàm số,... Việc nắm vững cách giải bài toán hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất giúp học sinh phát triển tư duy đại số, rèn luyện kỹ năng vận dụng phối hợp nhiều kiến thức, và đạt điểm cao trong các kỳ thi quan trọng.

2. Đặc điểm của bài toán hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có dạng tổng quát là:y=f(x)=ax+bcx+d,c0y = f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}, \quad c \neq 0trong đó a,b,c,da, b, c, dlà các hằng số. Một số đặc điểm nổi bật:

  • Tập xác định của hàm là D=R{x0}D = \mathbb{R} \setminus \left\{x_0\right\}, với cx0+d=0x0=dccx_0 + d = 0 \Rightarrow x_0 = -\dfrac{d}{c}
  • Có tiệm cận đứngx=x0x = x_0và tiệm cận ngangy=acy = \dfrac{a}{c}nếuc0c \neq 0
  • Nếuadbc0ad-bc \neq 0thì hàm không có tiệm cận chéo
  • Hàm số là đơn điệu trên mỗi khoảng xác định

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

  • Nhận diện đúng dạng hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất
  • Tìm tập xác định của hàm số
  • Tìm các tiệm cận (đứng, ngang/chéo nếu có)
  • Xét sự biến thiên (đồng biến, nghịch biến), bảng biến thiên
  • Khảo sát và vẽ đồ thị (nếu được yêu cầu)
  • Giải các yêu cầu của đề bài như tìm điều kiện cực trị, giá trị lớn nhất nhỏ nhất, giải phương trình chứa hàm số,...

4. Các bước giải cụ thể với ví dụ minh hoạ

Xét ví dụ: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=2x+1x1y = \frac{2x+1}{x-1}.

Bước 1: Xác định tập xác định

Điều kiện: x10x1x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1.
Tập xác định: D=R{1}D = \mathbb{R} \setminus \left\{1\right\}.

Bước 2: Các tiệm cận

Tiệm cận đứng:x=1x = 1(khix1,1+x \to 1^-, 1^+thì y±y \to \pm \infty)
Tiệm cận ngang:limx±y=limx±2x+1x1=2\lim_{x \to \pm \infty} y = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x+1}{x-1} = 2
Vậy tiệm cận ngang:y=2y = 2

Bước 3: Xét sự biến thiên và bảng biến thiên

Tính đạo hàm:
y=(2)(x1)(2x+1)(1)(x1)2=2x22x1(x1)2=3(x1)2y' = \frac{(2)(x-1) - (2x+1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{2x-2 - 2x -1}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}
(x1)2>0(x-1)^2 > 0vớix1x \neq 1nêny<0y' < 0trên mỗi khoảng xác định. Vậy hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Bước 4: Vẽ đồ thị

Đánh dấu tiệm cận đứngx=1x=1, tiệm cận ngangy=2y=2, lấy thêm một số điểm điển hình(vıˊd(ví dụx=0::y=-1;;x=2::y=5))rồi phác họa đồ thị.
Bạn có thể sử dụng Geogebra để quan sát rõ hơn đồ thị hàm số này.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • Tập xác định:cx+d0xdccx + d \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{d}{c}
  • Tiệm cận đứng:x=dcx = -\frac{d}{c}
  • Tiệm cận ngang:y=acy = \frac{a}{c}
  • Đạo hàm:y=a(cx+d)c(ax+b)(cx+d)2=adbc(cx+d)2y' = \frac{a(cx+d) - c(ax+b)}{(cx+d)^2} = \frac{ad - bc}{(cx+d)^2}
  • Dấu củayy'quyết định tính đơn điệu: Nếuadbc>0ad-bc > 0thì đồng biến,adbc<0ad-bc < 0thì nghịch biến.

6. Các biến thể và cách điều chỉnh chiến lược giải

Một số biến thể thường gặp:
- Tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của phân thức trên một đoạn cho trước.
- Giải phương trình/hệ phương trình chứa hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất.
- Tìm m để hàm số có tính chất đặc biệt (đồng biến, nghịch biến...).
- Ứng dụng vẽ đồ thị bằng phần mềm Geogebra để nhận diện hình dạng tổng quát khi thay đổi tham số.

  • Với giá trị lớn nhất/nhỏ nhất trên đoạn: Cần kiểm tra các giá trị tại biên và điểm loại trừ.
  • Với phương trình/hệ: Đưa biểu thức về dạng đơn giản nhất, xác định điều kiện xác định, chuyển vế, quy đồng,...
  • Với bài tập tham số, vẽ đồ thị bằng Geogebra với các giá trị khác nhau để rút ra quy luật.

7. Bài tập mẫu và giải chi tiết

- Bài tập: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y=3x2x+4y = \frac{3x-2}{x+4}khix[0;2]x \in [0; 2].

Bước 1: Hàm xác định với mọix4x \neq -4, mà [0;2][0; 2]không chứa4-4, nênx[0;2]x \in [0; 2]là hợp lệ.

Bước 2: Tính đạo hàm:
y=3(x+4)(3x2)1(x+4)2=3x+123x+2(x+4)2=14(x+4)2>0y' = \frac{3(x+4) - (3x-2) \cdot 1}{(x+4)^2} = \frac{3x+12-3x+2}{(x+4)^2} = \frac{14}{(x+4)^2} > 0
Nên hàm đồng biến trên[0;2][0;2].

Bước 3: Do hàm đồng biến nên giá trị nhỏ nhất tạix=0x=0, giá trị lớn nhất tạix=2x=2

- Tạix=0x=0:y1=3020+4=12y_1 = \frac{3 \cdot 0-2}{0+4} = -\frac{1}{2}
- Tạix=2x=2:y2=3222+4=46=23y_2 = \frac{3 \cdot 2-2}{2+4} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Vậy:
- Giá trị nhỏ nhất:12-\frac{1}{2}
- Giá trị lớn nhất:23\frac{2}{3}

8. Bài tập thực hành

  • 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàmy=x32x+1y = \frac{x-3}{2x+1}.
  • 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàmy=4x+5x2y = \frac{4x+5}{x-2}trên đoạn[3;6][3; 6].
  • 3) Giải phương trình:2x+1x1=3\frac{2x+1}{x-1} = 3.
  • 4) Cho hàmy=x+mx1y = \frac{x+m}{x-1}, vớimmlà tham số. Tìmmm để đồ thị hàm có tiệm cận đi qua gốc tọa độ.

9. Mẹo và lưu ý khi làm bài

  • Luôn xác định rõ tập xác định, tránh mất điểm ở bước này.
  • Khi tính đạo hàm, chú ý quy tắc đạo hàm phân thức, tránh nhầm lẫn.
  • Với phương trình chứa phân thức, luôn kiểm tra điều kiện xác định của nghiệm.
  • Vẽ đồ thị nên chọn ít nhất 3 điểm đặc biệt (giao với trục, vị trí gần tiệm cận) để phát họa chính xác.
  • Sử dụng phần mềm như Geogebra để kiểm tra kết quả và hiểu sâu hơn về hình dạng đồ thị.

Kết luận

Bài toán hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất rất quan trọng với học sinh lớp 12, yêu cầu sự nắm vững kỹ thuật và công thức. Hiểu rõ chiến lược và luyện tập thường xuyên sẽ giúp các bạn tự tin chinh phục mọi dạng đề toán liên quan đến chủ đề này.

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".