1. Giới thiệu về bài toán hàm số đại số lớp 12

Hàm số đại số là một trong những chủ đề trọng tâm trong chương trình toán lớp 12. Đây là dạng bài tập xuất hiện thường xuyên ở các bài kiểm tra, đề thi THPT Quốc gia, và cả các kỳ thi học sinh giỏi. Việc thành thạo cách giải bài toán hàm số đại số giúp học sinh nâng cao năng lực tư duy logic, rèn kỹ năng phân tích và củng cố kiến thức toán học vững chắc cho các bước phát triển tiếp theo.

2. Đặc điểm của bài toán hàm số đại số

Bài toán hàm số đại số ở lớp 12 có các đặc điểm sau:

• Đối tượng nghiên cứu là các hàm số dạng đa thức, phân thức hữu tỉ, căn thức, hàm lồng nhau, ...
• Các bài toán thường yêu cầu khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị, tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất, giải phương trình, bất phương trình liên quan hàm số.
• Phối hợp nhiều kỹ thuật: đạo hàm, khảo sát bảng biến thiên, lập luận về miền xác định, phân tích điều kiện xác định, …

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

1. Đọc kỹ đề, xác định rõ yêu cầu bài toán.
2. Phân tích cấu trúc hàm số: Dạng đa thức, phân thức, căn thức hay hàm tổng hợp.
3. Tìm miền xác định của hàm số.
4. Tính đạo hàm, khảo sát sự biến thiên – lập bảng biến thiên nếu cần.
5. Vẽ đồ thị (nếu cần thiết), đối chiếu kết quả.
6. Phân tích các bài toán phụ: tìm GTLN-GTNN, giải phương trình, bất phương trình liên quan đến hàm số.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ: Cho hàm số $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 1}$. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

1. Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số.

Hàm số xác định khi $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$. Vậy $D = \mathbb{R} \setminus \{ 1 \}$.

1. Bước 2: Tính giới hạn tại các điểm đặc biệt (vô cực, tiệm cận).

• Khi$x \to \infty$,$f(x) \to x$(đẳng cấp tử lớn hơn mẫu). Hàm số có tiệm cận xiên$y = x + 1$.
• Khi$x \to 1$, hàm số không xác định. Ta tính$\lim_{x \to 1^{-}} f(x)$và $\lim_{x \to 1^{+}} f(x)$.

Ta có $f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-1}$. Khi$x \to 1$,$f(x) \to \frac{-1 \cdot 3}{0}$, nên$f(x) \to -\infty$khi$x \to 1^{-}$và $f(x) \to +\infty$khi$x \to 1^{+}$. Vậy$x=1$là tiệm cận đứng.

1. Bước 3: Tính đạo hàm, tìm cực trị, bảng biến thiên.

$f'(x) = \frac{[2x](x-1) - (x^2 - 4) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{2x(x-1) - (x^2-4)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x^2 + 4}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x + 4}{(x-1)^2}$

Giải$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 - 2x + 4 = 0$. Phương trình vô nghiệm (vì $\Delta = 4 - 16 = -12 < 0$). Vậy hàm số không có điểm cực trị.

1. Bước 4: Vẽ đồ thị tổng kết

• Đồ thị có tiệm cận đứng$x=1$, tiệm cận xiên$y=x+1$.
• Đi qua các điểm đặc biệt:$x=2 \Rightarrow f(2)=0$,$x=0 \Rightarrow f(0)=4$...
• Không có cực trị.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Tìm miền xác định: Chú ý các mẫu số, căn thức, điều kiện lôgarit.
• Đạo hàm phân thức:$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
• Giới hạn tại vô cực, tìm tiệm cận ngang, tiệm cận đứng, tiệm cận xiên.
• Bảng biến thiên: cần điền đầy đủ các mốc đặc biệt – điểm không xác định, điểm cực trị.
• Các bất đẳng thức cơ bản để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

6. Các biến thể bài toán và điều chỉnh chiến lược

• Nếu hàm số dạng căn thức: Chú ý điều kiện xác định kỹ lưỡng, chú ý miền giá trị sau biến đổi.
• Nếu là bài toán tìm tham số để hàm số thỏa mãn tính chất (đồng biến, nghịch biến, cực trị, …): Đặt điều kiện cho tham số từ bảng biến thiên.
• Nếu giải phương trình, bất phương trình liên quan đến đại số hàm số: Kết hợp thêm nhiều phương pháp khác như đặt ẩn phụ, phân tích tổng – tích hoặc phân tích biểu thức.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:$y = \frac{2x+1}{x-2}$.

1. Tìm miền xác định:$x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.
2. Tìm tiệm cận đứng:$x = 2$.
3. Xét giới hạn tại$x \to \pm \infty$:$\lim_{x \to \infty} y = 2$, nên$y = 2$là tiệm cận ngang.
4. Đạo hàm:$y' = \frac{2(x-2) - (2x+1) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{2x-4-2x-1}{(x-2)^2} = \frac{-5}{(x-2)^2}$.
5. Vì tử luôn âm, mẫu luôn dương (trừ điểm không xác định), nên hàm số luôn nghịch biến trên hai khoảng$(-\infty;2)$và $(2;+\infty)$.
6. Đồ thị có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang, đi qua điểm$x=0$,$y=\frac{1}{-2} = -0,5$.

8. Bài tập thực hành

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$.
2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x^3 - 3x + 2$trên đoạn$[0;2]$.
3. Giải và biện luận theo tham số $m$bài toán: Tìm$x$để$f(x) = x^2 + 2mx + m + 5 \geq 0$xác định với mọi$x \in \mathbb{R}$.
4. Tìm tất cả các giá trị thực của$a$ để phương trình$x^2 - 2ax + a^2 - 1 = 0$có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn kiểm tra và ghi rõ miền xác định của hàm số.
• Không bỏ qua các điểm không xác định khi lập bảng biến thiên hoặc vẽ đồ thị.
• Chú ý giới hạn tại các điểm đặc biệt: khi$x$tiến tới vô cực, điểm gián đoạn, …
• Khi tìm cực trị, hãy giải kỹ phương trình đạo hàm và đối chiếu miền xác định.
• Sau khi vẽ đồ thị, hãy thử lấy một vài điểm đặc biệt để kiểm tra chính xác dáng điệu của đồ thị.

Hy vọng với hướng dẫn chiến lược giải quyết bài toán hàm số đại số trên, các bạn học sinh lớp 12 sẽ tự tin hơn khi làm bài và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.