1. Giới thiệu về bài toán hàm số lượng giác và tầm quan trọng

Hàm số lượng giác là một chủ đề quan trọng trong chương trình toán 12, xuất hiện thường xuyên trong các đề kiểm tra, kỳ thi THPT quốc gia và các kỳ thi học sinh giỏi. Nhóm bài toán này không chỉ giúp kiểm tra khả năng tư duy logic, năng lực vận dụng các công thức lượng giác mà còn là nền tảng cho các phần kiến thức giải tích, đại số sau này. Việc nắm vững cách giải bài toán hàm số lượng giác sẽ giúp học sinh tự tin chinh phục điểm số cao trong các kỳ thi lớn.

2. Đặc điểm bài toán hàm số lượng giác lớp 12

Các bài toán về hàm số lượng giác thường yêu cầu học sinh xác định tập xác định, khảo sát sự biến thiên (tìm cực đại, cực tiểu), xác định giá trị lớn nhất/nhỏ nhất, xét tính đơn điệu và vẽ đồ thị của các hàm số như $y = a\sin x + b\cos x + c$,$y = \tan x$,$y = \cot x$, và các hàm hợp. Bên cạnh đó, một số đề bài hướng tới giải phương trình, bất phương trình hoặc tìm giá trị tham số thỏa mãn điều kiện cho trước.

3. Chiến lược tổng thể khi tiếp cận bài toán hàm số lượng giác

Khi gặp bài toán hàm số lượng giác, học sinh nên đi theo các bước tổng quát sau:

- Nhận dạng dạng hàm số và xác định loại bài toán (khảo sát, giá trị lớn nhất/nhỏ nhất, phương trình…).- Xác định tập xác định của hàm số.- Áp dụng các công thức biến đổi, đồng nhất hàm lượng giác cho phù hợp.- Sử dụng đạo hàm để khảo sát tính đơn điệu, tìm cực trị.- Dựa vào các giá trị đặc biệt, chu kỳ và đồ thị cơ bản để tìm giá trị cần thiết.- Kết luận rõ ràng, trình bày cẩn thận các bước và điều kiện xác định.

4. Các bước giải bài toán hàm số lượng giác – Ví dụ minh họa

Chúng ta cùng phân tích, giải chi tiết một ví dụ mẫu để minh họa chiến lược tổng thể vừa nêu.

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2\sin x + 3\cos x$trên đoạn$[0;2\pi]$.

- Bước 1: Nhận dạng dạng hàm và xác định loại bài toán

Ta có hàm số $y = 2\sin x + 3\cos x$, đây là hàm lượng giác cơ bản. Đề bài yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên một đoạn cụ thể.

- Bước 2: Xác định tập xác định

Hàm số xác định với mọi$x \in \mathbb{R}$, trên đoạn$[0;2\pi]$thì dĩ nhiên xác định.

- Bước 3: Chuyển về dạng tổng quát $a\sin x + b\cos x = R\sin(x + \alpha)$ (khử bớt biến)

Ta đặt $R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$, và $\cos \alpha = \frac{a}{R}$, $\sin \alpha = \frac{b}{R}$.

$y = 2\sin x + 3\cos x = \sqrt{13}\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\sin x + \frac{3}{\sqrt{13}}\cos x\right) = \sqrt{13}\sin(x+\alpha)$

Trong đó

hoặc.

- Bước 4: Đánh giá giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Vì $|\sin(x+\alpha)| \leq 1$ nên:

\Rightarrow -\sqrt{13} \leq y \leq \sqrt{13}

Do đó, giá trị nhỏ nhất của $y$là $-\sqrt{13}$, giá trị lớn nhất là $\sqrt{13}$(đều đạt được cho một$x$phù hợp trong$[0;2\pi]$).

- Bước 5: Kết luận

Giá trị lớn nhất của hàm số là $\sqrt{13}$, giá trị nhỏ nhất là $-\sqrt{13}$trên đoạn$[0;2\pi]$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ khi xử lý hàm số lượng giác

- Công thức biến đổi $a\sin x + b\cos x$: $a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(x+\alpha),$với$\cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$, $\sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.- Đạo hàm các hàm lượng giác cơ bản:

+ $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$

+ $\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$

+$\frac{d}{dx}(\tan x) = 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$

+ $\frac{d}{dx}(\cot x) = -1 - \cot^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}$

- Công thức cộng, trừ, nhân đôi, nhân ba:

+ $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$

+ $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$

+ $\sin 2x = 2\sin x \cos x$

+ $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x$

- Các giá trị lượng giác đặc biệt (bảng giá trị $\sin$, $\cos$, $\tan$ở$0$, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2}$…)- Các tính chất về chu kỳ, đối xứng của các hàm lượng giác.

6. Các biến thể bài toán hàm số lượng giác và điều chỉnh chiến lược

· Tìm tập xác định:

Phân tích điều kiện sinh ra mẫu số bằng 0, các giá trị khiến biểu thức lượng giác không xác định (ví dụ:$\tan x = \frac{1}{0}$khi$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$).

- Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số lượng giác:

Sử dụng đạo hàm, chu kỳ, điểm đặc biệt. Phân chia rõ các khoảng đơn điệu, điểm cực trị, nghiệp, đồ thị đặc trưng.

- Giải bất phương trình lượng giác:

Chuyển về các dạng bất phương trình cơ bản, sử dụng bảng biến thiên hoặc xét dấu.

- Tìm giá trị tham số thỏa mãn điều kiện (ví dụ tham số $m$):

Áp dụng định lý về giá trị lớn nhất/nhỏ nhất, hạ bậc, đặt ẩn phụ để đưa về bất phương trình tham số.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết từng bước

Bài mẫu 1: Tìm tập xác định của hàm số $y = \frac{1}{1 - \sin x}$.

- Điều kiện xác định: $1 - \sin x <br> \neq 0 \Leftrightarrow \sin x <br> \neq 1 \Leftrightarrow x <br>eq \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Vậy, tập xác định là $\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + 2k\pi ~|~ k \in \mathbb{Z} \right\}$.

Bài mẫu 2: Chứng minh rằng giá trị lớn nhất của hàm số $y = 3\sin x - 4\cos x$là $5$, giá trị nhỏ nhất là $-5$.

Giải: Chuyển về dạng $a\sin x + b\cos x$: $R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$, vậy $y = 5\sin(x + \alpha)$. Do $|\sin(x+\alpha)| \leq 1$, nên giá trị lớn nhất và nhỏ nhất lần lượt là $5$và $-5$.

Bài mẫu 3: Giải bất phương trình $\sin x > \frac{1}{2}$.

- Điều kiện: $\sin x > \frac{1}{2} \Rightarrow x$nằm trong các khoảng trong một chu kỳ:$x \in \left(\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}\right) + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

8. Bài tập thực hành cho học sinh

Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau trên$[0;2\pi]$:

a) $y = 5\sin x - 12\cos x$

b) $y = 7\sin x + 24\cos x$

Bài tập 2: Tìm tập xác định của các hàm số:

a)$y = \frac{1}{\cos x}$

b)$y = \frac{1}{1+\tan x}$

Bài tập 3: Giải các phương trình, bất phương trình:

a) $\sin x = \frac{1}{2}$

b)$\tan x < 0$

Bài tập 4: Một hàm số có dạng $y = a\sin x + b\cos x$đạt giá trị lớn nhất là$10$, tìm $a$, $b$thỏa mãn$a^2 + b^2 =?$

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

- Luôn xác định tập xác định của hàm số trước khi giải.- Khi chuyển về dạng $R\sin(x+\alpha)$, phải xác định đúng $R$, $\alpha$, không bỏ qua dấu trừ.- Kiểm tra kỹ điều kiện gây ra mẫu số bằng 0, hội tụ/chặn đầu mút khi xét giá trị lớn nhất nhỏ nhất trên đoạn.- Lưu ý chu kỳ, tính chất đối xứng của hàm lượng giác để tránh nhầm lẫn nghiệm.- Với các hàm hợp như $\sin(ax + b)$, nhớ chia chủ kỳ, điểm đặc biệt cho phù hợp.- Trình bày lời giải bài toán lượng giác khoa học, theo từng bước rõ ràng.

Với phương pháp và lời giải chi tiết ở trên, chắc chắn bạn sẽ thành thạo cách giải bài toán hàm số lượng giác lớp 12 và ứng dụng hiệu quả vào các đề thi quan trọng.