1. Giới thiệu về bài toán hàm số vận tốc và tầm quan trọng

Các bài toán về hàm số vận tốc là dạng chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 12, nằm ở chuyên đề ứng dụng tích phân và đạo hàm trong thực tiễn. Dạng bài này xuất hiện nhiều trong đề thi THPT Quốc gia cũng như các kỳ kiểm tra học kỳ. Việc nắm vững cách giải bài toán hàm số vận tốc không chỉ giúp học sinh đạt điểm cao mà còn là nền tảng để hiểu sâu hơn về các ứng dụng thực tế của toán học trong chuyển động cơ học.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán hàm số vận tốc

Bài toán hàm số vận tốc có các đặc điểm chính sau:

• Một hàm số vận tốc$v(t)$(theo thời gian$t$) thường cho dưới dạng hàm ẩn hoặc hiển.
• Yêu cầu tính quãng đường đi được, tính vận tốc tại một thời điểm, xác định lúc dừng lại, hoặc tìm thời điểm khi vật di chuyển nhanh nhất/chậm nhất.
• Đôi khi kết hợp cả bảng xét dấu vận tốc, tích phân, giá trị lớn nhất nhỏ nhất.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán

• Xác định yêu cầu của đề bài (tính quãng đường, vị trí, vận tốc tức thời, thời điểm dừng lại...).
• Vẽ bảng xét dấu nếu cần xác định hướng đi, đổi chiều hoặc thời điểm dừng.
• Sử dụng đạo hàm hoặc tích phân đúng cách tùy vào yêu cầu.
• Viết lại các công thức cần thiết cho từng trường hợp.
• Đặt biến phụ nếu hàm số phức tạp khi tính tích phân.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Chúng ta xét một ví dụ cụ thể sau:

Cho hàm số vận tốc của một vật chuyển động thẳng:$v(t) = 3t^2 - 6t$, với$t$tính bằng giây$(s)$và vận tốc tính bằng mét/giây$(m/s)$. Vật bắt đầu chuyển động từ $t = 0$.

• a) Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ $t_1 = 0$ đến$t_2 = 3$.
• b) Khi nào vật dừng lại?

Giải:

• a) Quãng đường đi được từ $t_1$ đến$t_2$là:
  $S = \bigg| \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt \bigg|$
• Ta có:
  $\int_{0}^{3} (3t^2 - 6t) dt = [t^3 - 3t^2]_{0}^{3} = (27 - 27) - (0 - 0) = 0$
  Nhưng cần chú ý vận tốc đổi dấu, nên cần phân tích kĩ:
  - Xét$v(t) = 0 \rightarrow 3t^2 - 6t = 0 \rightarrow t( t - 2 ) = 0 \rightarrow t = 0$hoặc$t = 2$.
  Do đó, từ $t=0$ đến$t=2$vật đi theo một hướng, từ $t=2$ đến$t=3$vật đổi chiều.
  Ta tính từng đoạn rồi cộng giá trị tuyệt đối:
  
  $S = |\int_{0}^{2} v(t) dt| + |\int_{2}^{3} v(t) dt|$
• Tính toán:
  $\int_{0}^{2} (3t^2 - 6t) dt = [ t^3 - 3t^2]_{0}^{2} = (8 - 12) - (0 - 0) = -4$
  $\int_{2}^{3} (3t^2 - 6t) dt = [t^3 - 3t^2]_{2}^{3} = (27 - 27) - (8 - 12) = 0 - (-4) = 4$
  
  Vậy quãng đường đi được:
  $S = |-4| + |4| = 8 \, (m)$
• b) Vật dừng lại khi$v(t) = 0$, đã tính ra$t = 0$,$t = 2$(giay)

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Quãng đường đi được trong thời gian$[a, b]$:
  $S = \int_{a}^{b} |v(t)| dt$
  (Nếu$v(t)$ đổi dấu thì cần chia nhỏ các đoạn phù hợp để lấy giá trị tuyệt đối từng đoạn).
• Vận tốc tức thời tại$t_0$:$v(t_0)$.
• Vị trí tại$t$:
  $x(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t} v(t) dt$
• Tịnh tiến chiều chuyển động: Xem bảng xét dấu của$v(t)$ để biết vật di chuyển thuận/ngược chiều ban đầu.

6. Các biến thể của dạng bài và cách điều chỉnh chiến lược

Các biến thể thường gặp:

• a) Cho vị trí thay vì vận tốc: Dùng đạo hàm$v(t) = x'(t)$.
• b) Cho vận tốc âm/dương, yêu cầu xác định số lần vật đổi chiều: Xét phương trình$v(t) = 0$.
• c) Hàm vận tốc là hàm dạng phức tạp hoặc dạng rời rạc: Nên vẽ biểu đồ hoặc mô phỏng.

7. Bài tập mẫu giải chi tiết từng bước

Bài tập: Cho$v(t) = 2t - 4$, vật bắt đầu tại$t=0$. Tính quãng đường đi trong$[0,5]$.

Giải:
- Bước 1: Xét phương trình$v(t) = 0 \rightarrow 2t - 4 = 0 \rightarrow t = 2$.
- Bước 2: Tính$<br /> \int_{0}^{2} (2t-4) dt = [t^2 - 4t]_{0}^{2} = (4 - 8) - (0) = -4$
\int_{2}^{5} (2t-4) dt = [t^2 - 4t]_{2}^{5} = (25 - 20) - (4 - 8) = 5 - (-4) = 9$<br />- Bước 3: Tổng quãng đường:$|-4| + |9| = 13$(m)

8. Bài tập tự luyện

1. Cho$v(t) = t^2 - 4t + 3$, tính quãng đường vật đi được trong$[0, 4]$.
2. Cho vật xuất phát tại$x(0) = 2$,$v(t) = 4 - t^2$. Tìm thời điểm vật dừng lại, vị trí khi đó.
3. Cho $v(t) = \sin(2t)$với$0 \leq t \leq 2 \pi$. Tính quãng đường đi trong khoảng đã cho.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Không nhầm giữa quãng đường và độ dời. Quãng đường là tổng các giá trị tuyệt đối từng đoạn chuyển động, độ dời là $\int_{a}^{b} v(t)dt$.
• Khi$v(t)$ đổi dấu, nhớ chia nhỏ khoảng để tích phân giá trị tuyệt đối.
• Kiểm tra điều kiện đầu, nhất là khi đề cho vị trí ban đầu khác 0.
• Dùng máy tính cẩn thận, kiểm tra dấu trong các phép tính.

Hy vọng với chiến lược và các ví dụ, mẹo giải trên, học sinh sẽ tự tin giải quyết mọi bài toán về hàm số vận tốc trong chương trình lớp 12.